- Рассмотрите поэтапно процесс гармонических колебаний, происходящих в колебательном контуре, и опишите происходящие при этом превращения энергии.
Пусть у нас есть колебательный контур, изображённый на рис. 127 слева сверху.
Рис. 127. Колебания в колебательном контуре.
Буква С обозначает конденсатор и его электроёмкость;
буква L обозначает катушку индуктивности (катушкой индуктивности иногда называют катушку, обладающую индуктивностью) и её индуктивность;
буква \mathrm{K} обозначает ключ, который изначально разомкнут.
Стрелочка на контуре, изображённом слева сверху указывает выбранное направление тока, оно будет таким же (против часовой стрелки) на всех изображениях в этом рисунке (но на других изображениях оно не ставится (как и буквы C, L, \mathrm{K}, почти на всех других изображениях), чтобы не перегружать рисунок).
Три плюсика у пластины конденсатора означают, что она имеет максимальный положительный заряд, один плюсик означает, что она имеет положительный заряд, но не максимальный, три минусика означают, что пластина имеет максимальный (по модулю) отрицательный заряд и один минусик означает, что она имеет отрицательный заряд, но не максимальный по модулю.
Стрелочка, подписанная буквой I с индексом, указывает направление движения, положительного заряда в этом контуре.
Момент времени, изображённый на рис. 127-(i) будем называть t_i, что на рисунке подписано равенствами t=t_i.
Изначально ключ разомкнут, и конденсатор заряжен. За заряд конденсатора выберем заряд верхней (на рисунке) пластины (тогда за направление тока в контуре, надо выбрать направление к этой пластине, то есть направление против часовой стрелки). Пусть в некоторый момент времени ключ замкнули, этот момент времени назовём t_0 и примем за начальный (t_0=0), он изображён на рис. 127-(0) (и вообще в этом вопросе момент времени, изображённый на рис. 127-(i) будем называть t_i). В этот момент времени заряд конденсатора q_0=q_{max} (и вообще в этом вопросе заряд конденсатора в момент времени t_i будем называть q_i), где q_{max}~- амплитуда колебаний заряда конденсатора. А полная электромагнитная энергия (суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки) нашего колебательного контура: W_0=W_{L0}+W_{C0}=0+W_{C0}=\large \frac{q_{max}^2}{2\cdot C}, (и вообще в этом вопросе полную электромагнитную энергию нашего колебательного контура в момент времени t_i будем называть W_i), где W_{L0}~- энергия магнитного поля катушки с током нашего колебательного контура в момент времени t_0 (и вообще в этом вопросе энергию магнитного поля катушки с током нашего колебательного контура в момент времени t_i будем называть W_{Li}), а W_{C0}~- энергия электрического поля конденсатора нашего колебательного контура в момент времени t_0 (и вообще в этом вопросе энергию электрического поля конденсатора нашего колебательного контура в момент времени t_i будем называть W_{Ci}). Таким образом, в момент времени t_0 колебательный контур обладает только энергией электрического поля. С течением времени разность потенциалов между верхней и нижней пластинами конденсатора, будет заставлять отрицательные свободные носители заряда в контуре набирать скорость, направленную против часовой стрелки — в контуре возникнет ток, сила которого, при выбранном направлении тока в контуре, отрицательна (то есть положительный заряд будет двигаться в направлении противоположном выбранному за направление тока). При этом заряд конденсатора будет уменьшаться; в результате, энергия электрического поля конденсатора W_C будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки W_L будет увеличиваться, таким образом, энергия электрического поля конденсатора этого колебательного контура будет переходить в энергию магнитного поля катушки этого колебательного контура. На рис. 127-(1) изображён некоторый момент времени в течение этого процесса. I_1~- это сила тока, текущего в этом контуре (причём стрелочка рядом с надписью I_1 указывает не направление, выбранное за направление тока, а направление движения положительного заряда, которое в данном случае противоположно направлению, выбранному за направление тока; поэтому сила тока I_1 отрицательная), в момент времени t_1 (и вообще в этом вопросе силу тока, текущего в этом контуре в момент времени t_i будем называть I_i). W_1=W_{L1}+W_{C1}=\large \frac{L\cdot I_1^2}{2}+\frac{q_1^2}{2\cdot C}. С течением времени дальше заряд конденсатора достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 127-(2). I_2=-I_{max}, где I_{max}~- максимальное значение модуля силы тока, которое называется амплитудой силы тока. W_2=W_{L2}+W_{C2}=W_{L2}+0=\large \frac{L\cdot I_{max}^2}{2}, таким образом, к моменту времени t_2 энергия электрического поля конденсатора полностью перейдёт в энергию магнитного поля катушки. С течением времени дальше, текущий в контуре ток будет заряжать положительно нижнюю пластину конденсатора и отрицательно верхнюю. Образующаяся разность потенциалов будет уменьшать по модулю силу тока в результате энергия магнитного поля катушки будет уменьшаться; конденсатор будет заряжаться, и следовательно энергия электрического поля конденсатора будет расти, таким образом, энергия магнитного поля этого колебательного контура будет переходить в энергию электрического поля этого колебательного контура. На рис. 127-(3) изображён некоторый момент времени в течение этого процесса. W_3=W_{L3}+W_{C3}=\large \frac{L\cdot I_3^2}{2}+\frac{q_3^2}{2\cdot C}. С течением времени дальше сила тока в контуре достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 127-(4). q_4=-q_{max}. W_4=W_{L4}+W_{C4}=0+W_{C4}=\large \frac{q_{max}^2}{2\cdot C}, таким образом к моменту времени t_4 энергия магнитного поля катушки полностью перейдёт в энергию электрического поля конденсатора. С течением времени разность потенциалов между пластинами конденсатора, будет заставлять отрицательные свободные носители заряда в контуре набирать скорость, направленную по часовой стрелке — в контуре возникнет ток, сила которого, при выбранном направлении тока в контуре, положительна (то есть положительный заряд будет двигаться в том же направлении, что и выбрано за направление тока). При этом заряд конденсатора будет уменьшаться по модулю; в результате, энергия электрического поля конденсатора W_C будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки W_L будет увеличиваться, таким образом, энергия электрического поля конденсатора этого колебательного контура будет переходить в энергию магнитного поля катушки этого колебательного контура. На рис. 127-(5) изображён некоторый момент в течение этого процесса. W_5=W_{L5}+W_{C5}=\large \frac{L\cdot I_5^2}{2}+\frac{q_5^2}{2\cdot C}. С течением времени дальше заряд конденсатора достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 127-(6). W_6=W_{L6}+W_{C6}=W_{L6}+0=\large \frac{L\cdot I_{max}^2}{2}, таким образом, к моменту времени t_6 энергия электрического поля конденсатора полностью перейдёт в энергию магнитного поля катушки. С течением времени дальше, текущий в контуре ток будет заряжать положительно верхнюю пластину конденсатора и отрицательно нижнюю. Образующаяся разность потенциалов будет уменьшать по модулю силу тока, в результате энергия магнитного поля катушки будет уменьшаться; конденсатор будет заряжаться, и, следовательно, энергия электрического поля конденсатора будет расти, таким образом, энергия магнитного поля этого колебательного контура будет переходить в энергию электрического поля этого колебательного контура. На рис. 127-(7) изображён некоторый момент в течение этого процесса. W_7=W_{L7}+W_{C7}=\large \frac{L\cdot I_7^2}{2}+\frac{q_7^2}{2\cdot C}. С течением времени дальше сила тока в контуре достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 127-(8). q_8=q_{max}. W_8=W_{L8}+W_{C8}=0+W_{C8}=\large \frac{q_{max}^2}{2\cdot C}, таким образом к моменту времени t_8 энергия магнитного поля этого колебательного контура полностью перейдёт в энергию электрического поля. Кроме того к этому моменту времени все характеристики колеблющейся системы (в данном случае определяемые зарядом конденсатора и силой тока в контуре) впервые вместе вернуться к значениям, которые они уже принимали раньше (в данном случае в момент времени t_0), а значит система за время с момента времени t_0 до момента времени t_8 совершила одно полное колебание (то есть период описываемых колебаний: T=t_8-t_0). А значит (раз все характеристики системы вернулись к значениям, которые они уже принимали раньше) в дальнейшем, процессы, происходящие в системе, будут повторяться. В самом деле, с течением времени дальше разность потенциалов между верхней и нижней пластинами конденсатора, будет заставлять отрицательные свободные носители заряда в контуре набирать скорость, направленную против часовой стрелки — в контуре возникнет ток, сила которого, при выбранном направлении тока в контуре, отрицательна (то есть положительный заряд будет двигаться в направлении противоположном выбранному за направление тока). При этом заряд конденсатора будет уменьшаться; в результате, энергия электрического поля конденсатора W_C будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки W_L будет увеличиваться, таким образом, энергия электрического поля конденсатора этого колебательного контура будет переходить в энергию магнитного поля катушки этого колебательного контура. На рис. 127-(9) изображён некоторый момент в течение этого процесса. W_9=W_{L9}+W_{C9}=\large \frac{L\cdot I_9^2}{2}+\frac{q_9^2}{2\cdot C}. И так далее… - Запишите формулу, иллюстрирующую закон сохранения энергии в колебательном контуре.
В идеальном колебательном контуре:
\large \frac{C\cdot U^2}{2}+\frac{L\cdot I^2}{2}=\frac{C\cdot U_{max}^2}{2}=\frac{L\cdot I_{max}^2}{2}=\normalsize const;
где C~- электроёмкость конденсатора этого колебательного контура,
U~- напряжение между пластинами этого конденсатора в некоторый момент времени,
L~- индуктивность катушки этого колебательного контура,
I~- сила тока, текущего в этом контуре в этот момент времени,
U_{max}~- максимальное значение модуля напряжения между пластинами этого конденсатора (амплитуда колебаний напряжения между пластинами этого конденсатора),
I_{max}~- максимальное значение модуля силы тока, текущего в этом контуре (амплитуда колебаний силы тока, текущего в этом контуре).