- Как умножить вектор на число?
Чтобы умножить вектор на число, отличное от нуля, надо его длину умножить на это число, а направление оставить без изменения; при умножении же вектора на ноль мы будем получать ноль.1 - Как найти сумму двух векторов. Сделайте и подробно объясните рисунок.
Суммой двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{c}. Чтобы построить вектор \vec{c} надо к концу вектора \vec{a} приложить начало вектора \vec{b} и провести вектор \vec{c} из начала вектора \vec{a} к концу приложенного вектора \vec{b}. Пусть нам даны два вектора \vec{a} и \vec{b}.
Посмотрите на рис. 15.
Рис. 15. Нахождение вектора \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}; 1 — изначально данный вектор \vec{b}, 2 — вектор \vec{b}, приложенный своим началом к концу вектора \vec{a}.
Построим вектор \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}. Для того, чтобы приложить к концу \vec{a} начало \vec{b} (1) выполним следующие построения. Проведём прямую \mathrm{m} (на рисунке изображена пунктиром) через конец вектора \vec{a} параллельно прямой, содержащей вектор \vec{b} (1) (или совпадающую с прямой, содержащей вектор \vec{b} (1)). Отложим на прямой \mathrm{m} вектор \vec{b} (2), длина которого равна длине вектора \vec{b} (1) и который направлен так же, как вектор \vec{b} (1). Проведём вектор \vec{c} из начала вектора \vec{a} в конец перенесённого вектора \vec{b} (2). - Почему в предыдущем пункте про прямую \mathrm{m} уточняется: «или совпадающую с прямой, содержащей вектор \vec{b} (1)«?
Если прямая (назовём её для определённости \mathrm{n}), содержащая вектор \vec{b} (1) проходит, через конец вектора \vec{a}, то прямую \mathrm{m} через конец вектора \vec{a} провести параллельно \mathrm{n} нельзя. В этом случае проводим прямую \mathrm{m}, совпадающей с прямой \mathrm{n}, то есть саму прямую \mathrm{n}. - Сформулируйте и объясните переместительный закон сложения векторов.
Сумма \vec{a} и \vec{b} равна сумме \vec{b} и \vec{a}:
\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a};
то есть не зависимо от того прибавляем мы к вектору \vec{a} вектор \vec{b} или наоборот к вектору \vec{b} вектор \vec{a} в результате мы получим один и тот же вектор, являющийся их суммой. - Как найти разность двух векторов? Сделайте и подробно поясните рисунок.
Разностью двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{d}. Чтобы построить вектор \vec{d} надо построить вектор -\vec{b} и построить сумму векторов \vec{a} и -\vec{b}. То есть: \vec{d}=\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}). Чтобы построить вектор -\vec{b} надо у вектора \vec{b} поменять местами начало и конец. Пусть вектор \vec{b} имеет начало в точке \mathrm{A} и конец в точке \mathrm{B} (1),
посмотрите на рис. 16.
Нахождение вектора -\vec{b}; 1 — вектор \vec{b} и точки \mathrm{A} и \mathrm{B}, 2 — вектор -\vec{b} и те же самые точки \mathrm{A} и \mathrm{B}.
Проведём вектор -\vec{b} из точки \mathrm{B} в точку \mathrm{A}. - Как найти сумму двух векторов с помощью их проекций?
Суммой двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{c}:
\vec{a}+\vec{b}=\vec{c};
который будет полностью определён, если будут найдены все его проекции: c_x,c_y,c_z. Чтобы их найти, надо сложить соответствующие проекции векторов \vec{a} и \vec{b}:
\begin{cases}c_x=a_x+b_x\\c_y=a_y+b_y\\c_z=a_z+b_z\end{cases}; - Как найти сумму двух векторов на плоскости с помощью их проекций?
Суммой двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{c}:
\vec{a}+\vec{b}=\vec{c};
который будет полностью определён, если будут найдены все его проекции: c_x,c_y.Чтобы их найти, надо сложить соответствующие проекции векторов \vec{a} и \vec{b}:
\begin{cases}c_x=a_x+b_x\\c_y=a_y+b_y\end{cases}; - Чем отличаются формулы с проекциями векторов на плоскости, от формул с проекциями векторов в пространстве?
На плоскости этих проекций две, а в пространстве три. - Как найти сумму двух векторов на прямой с помощью их проекций?
Суммой двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{c}:
\vec{a}+\vec{b}=\vec{c};
который будет полностью определён, если будут найдены все его проекции: c_x.Чтобы её найти, надо сложить соответствующие проекции векторов \vec{a} и \vec{b}:
c_x=a_x+b_x; - Чем отличаются формулы с проекциями векторов на прямой, от формул с проекциями векторов в пространстве?
На прямой эта проекция одна, а в пространстве три. - Как найти разность двух векторов с помощью их проекций?
Разностью двух векторов \vec{a} и \vec{b} является третий вектор \vec{d}:
\vec{a}-\vec{b}=\vec{d};
который будет полностью определён, если будут найдены все его проекции: d_x,d_y,d_z. Чтобы их найти, надо вычесть соответствующие проекции векторов \vec{a} и \vec{b}:
\begin{cases}d_x=a_x-b_x\\d_y=a_y-b_y\\d_z=a_z-b_z\end{cases}; - Как найти произведение вектора на число с помощью проекций?
Произведением вектора \vec{a} и числа k является третий вектор \vec{c}:
k\cdot \vec{a}=\vec{c};
который будет полностью определён, если будут найдены все его проекции: c_x,c_y,c_z. Чтобы их найти, надо умножить соответствующие проекции вектора \vec{a} на число k:
\begin{cases}c_x=k\cdot a_x\\c_y=k\cdot a_y\\c_z=k\cdot a_z\end{cases}; 2
Сноски:
- Вообще-то, при умножении вектора на ноль получается нулевой вектор, но это понятие не согласуется с выбранным нами определением вектора и не необходимо для сдачи ЕГЭ по физике, поэтому его определение мы рассматривать не будем.
- Если k равно нулю, то вектор \vec{c} будет нулевым, мы будем с ним обращаться как с просто нулём (обратите внимание, что вектор длина которого равна нулю не подходит под наше определение вектора).