- Что такое вектор?
Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. - Как надо помечать букву, обозначающую вектор?
Букву, обозначающую вектор надо помечать сверху стрелочкой, направленной направо. - Приведите пример обозначения вектора. Сделайте и подробно объясните рисунок.
Возьмём отрезок AB. Посмотрите на рис. 9.
Рис. 9. Пример вектора и его обозначение.
Укажем, что его граничная точка \mathrm{A} является началом, а \mathrm{B~-} концом. Сделаем это, пририсовывая в точке \mathrm{B} стрелочку. Назовём вектор \vec{a}, и подпишем его так на рисунке. - Что такое модуль вектора?
Модуль вектора — это его длина. - Как принято сокращённо обозначать модуль вектора?
Сокращённо обозначать модуль вектора принято той же буквой, которой обозначается вектор только без стрелочки сверху. - Приведите пример обозначения какого-нибудь вектора и его модуля.
Вектор \vec{r}, а его модуль r. - Опишите построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда проекция положительна и для случая, когда проекция отрицательна; сделайте и подробно объясните рисунок.
Посмотрите на рис. 10.
Рис. 10. Построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция положительна.
На нём изображены ось \mathrm{x} и вектор \vec{a}. Обозначим начало \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Найдём проекцию начала \vec{a}, то есть точки \mathrm{A}, на ось \mathrm{x}. Для этого проведём через точку \mathrm{A} прямую \mathrm{m} перпендикулярную оси \mathrm{x}. Точку пересечения прямой \mathrm{m} и оси \mathrm{x} обозначим \mathrm{A_x}. Точка \mathrm{A_x} и является проекцией точки \mathrm{A} на ось \mathrm{x}, то есть проекцией начала \vec{a} на ось \mathrm{x}. Аналогично построим проекцию \mathrm{B_x} конца \vec{a} на ось \mathrm{x}. Так как от проекции начала \vec{a} к проекции его конца надо идти в положительном направлении оси \mathrm{x} (угол между \vec{a} и осью x острый (подробнее об этом угле будет в пункте 13)), то проекция \vec{a} на ось \mathrm{x} положительна и равна:
a_x=+A_xB_x;
где a_x~- проекция вектора \vec{a} на ось \mathrm{x}, A_xB_x~- длина отрезка \mathrm{A_xB_x}.
Теперь построим проекцию вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция отрицательна.
Посмотрите на рис. 11.
Рис. 11. Построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция отрицательна.
На нём тоже изображены ось \mathrm{x} и вектор \vec{a}, только теперь угол между \vec{a} и осью \mathrm{x} тупой. Обозначим начало \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Также как в первом случае найдём проекции начала и конца \vec{a}, на ось \mathrm{x}, и назовём их \mathrm{A_x} и \mathrm{B_x} соответственно. Так как от проекции начала \vec{a} к проекции его конца надо идти в отрицательном направлении оси x (угол между \vec{a} и осью \mathrm{x} тупой (подробнее об этом угле будет в пункте 14)), то проекция \vec{a} на ось \mathrm{x} отрицательна и равна:
a_x=-A_xB_x;
где a_x~- проекция вектора \vec{a} на ось \mathrm{x}, A_xB_x~- длина отрезка \mathrm{A_xB_x}. - Чем можно полностью заменить вектор?
Вектор можно полностью заменить его проекциями на все оси: \vec{a}=(a_x,a_y,a_z). (Вектор, выраженный через свои проекции, обычно записывается в виде скобочек, в которых через запятую или точку с запятой записываются проекции этого вектора. Причём первой записывается проекция на первую ось (часто ось \mathrm{x}), второй проекция на вторую ось (часто ось \mathrm{y}), третьей на третью ось (часто ось \mathrm{z}). - Чем можно полностью заменить вектор на плоскости?
Вектор на плоскости можно полностью заменить его проекциями на все оси: \vec{a}=(a_x,a_y). - Чем отличаются проекции, полностью заменяющие вектор на плоскости, от проекций, полностью заменяющих вектор в пространстве?
На плоскости этих проекций две, а в пространстве три. - Чем можно полностью заменить вектор на прямой?
Вектор на прямой можно полностью заменить его проекцией на ось: \vec{a}=(a_x). - Чем отличаются проекции, полностью заменяющие вектор на прямой, от проекций, полностью заменяющих вектор в пространстве?
На прямой эта проекция одна, а в пространстве их три. - Приведите пример, как выразить проекции вектора на две перпендикулярные оси через модуль этого вектора и угол между ним и одной из осей, в случае, когда проекции вектора на оси положительные. Сделайте и подробно объясните рисунок.
Пусть нам даны вектор \vec{a} и угол \alpha между осью \mathrm{x} и этим вектором.
Посмотрите на рис. 12.
Рис. 12. Нахождение проекций вектора по его длине и углу между ним и осью.
Обозначим начало вектора \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Луч \mathrm{AT}, проведём сонаправленным с осью \mathrm{x} (на рисунке этот луч изображён пунктиром). Углы между любым вектором и осью \mathrm{x} и между этим же вектором и лучом \mathrm{AT} будут равны, так как ось \mathrm{x} и луч \mathrm{AT} сонаправлены. Угол \alpha отмеряется от луча \mathrm{AT} против часовой стрелки до вектора \overrightarrow{AB}, что отмечено на рисунке закруглённой стрелочкой. Проведём прямую перпендикулярную оси \mathrm{x} через точку \mathrm{B}. Она пересечёт луч \mathrm{AT} в точке, которую мы назовём \mathrm{C}. Эта же прямая (прямая \mathrm{BC}) пересечёт ось \mathrm{x} в точке \mathrm{B_x}, которая является проекцией точки \mathrm{B} на ось \mathrm{x}. Ещё построим проекции точки \mathrm{A} на оси \mathrm{x} и \mathrm{y}, и точки \mathrm{B} на ось \mathrm{y}. Проекция a_x вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} будет положительной и значит:
a_x=A_xB_x;
где A_xB_x~- длина отрезка \mathrm{A_xB_x}.
А отрезок \mathrm{A_xB_x} равен отрезку \mathrm{AC}, так как \mathrm{A_xACB_x}~- прямоугольник. Следовательно:
a_x=AC;
где AC~- длина отрезка \mathrm{AC}.
Теперь рассмотрим треугольник \mathrm{ABC}. Он прямоугольный. Угол BAC равен \alpha. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
\cos{\alpha}=\frac{AC}{AB};
Так как AC=a_x, а AB это длина вектора \vec{a} (что значит, что AB=|\vec{a}|=a), то:
\cos{\alpha}=\large \frac{a_x}{a}\normalsize;
Откуда выражаем a_x:
a_x=a \cdot \cos{\alpha}; (Обратите внимание. Если что-то в этих алгебраических преобразованиях не до конца понятно, например, как из предыдущей формулы получена эта, то надо как следует позаниматься алгеброй).
Теперь найдём проекцию a_y вектора \vec{a} на ось \mathrm{y}. Эта проекция тоже положительная и значит:
a_y=A_yB_y;
А отрезок \mathrm{A_yB_y} равен отрезку \mathrm{BC}, так как \mathrm{A_yB_yBC}~- прямоугольник. Следовательно:
a_y=BC;
Теперь рассмотрим треугольник \mathrm{ABC}. Он прямоугольный. Угол BAC равен \alpha. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
\sin{\alpha}=\frac{BC}{AB};
Так как BC=a_y, а AB это длина вектора \vec{a} (что значит, что AB=|\vec{a}|=a), то:
\sin{\alpha}=\large \frac{a_y}{a}\normalsize;
Откуда выражаем a_y:
a_y=a \cdot \sin{\alpha}; - Приведите пример, как выразить проекции вектора на две перпендикулярные оси через модуль этого вектора и угол между ним и одной из осей, в случае, когда проекции вектора на оси отрицательные. Рассмотрите два разных варианта данного угла. Сделайте и подробно объясните рисунок.
Пусть нам даны вектор \vec{a} и угол \alpha_1 между осью \mathrm{x} и этим вектором.
Посмотрите на рис. 13.
Рис. 13. Нахождение проекций вектора по его длине и углу между ним и осью. Для двух вариантов данного угла.
Обозначим начало вектора \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Луч \mathrm{AT}, проведём сонаправленным с осью \mathrm{x} (на рисунке этот луч изображён пунктиром). Угол \alpha_1 отмеряется от луча \mathrm{AT} (если мы будем отмерять угол от луча \mathrm{AT} или от положительного направления оси \mathrm{x}, получится одно и то же, так как луч \mathrm{AT} и ось \mathrm{x} сонаправлены) против часовой стрелки до вектора \overrightarrow{AB}, что отмечено на рисунке закруглённой стрелочкой. Проведём прямую перпендикулярную оси \mathrm{x} через точку \mathrm{B}. Она пересечёт прямую \mathrm{AT} в точке, которую мы назовём \mathrm{C}. Эта же прямая (прямая \mathrm{BC}) пересечёт ось \mathrm{x} в точке \mathrm{B_x}, которая является проекцией точки \mathrm{B} на ось \mathrm{x}. Ещё построим проекции точки \mathrm{A} на оси \mathrm{x} и \mathrm{y}, и точки \mathrm{B} на ось \mathrm{y}. Проекция a_x вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} будет отрицательной и значит:
a_x=-B_xA_x;
А отрезок \mathrm{B_xA_x} равен отрезку \mathrm{AC}, так как \mathrm{A_xACB_x}~- прямоугольник. Следовательно:
a_x=-AC;
Теперь рассмотрим треугольник \mathrm{ABC}. Он прямоугольный. Угол BAC равен \alpha_1-\pi . По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
\cos{(\alpha_1-\pi)}=\frac{AC}{AB};
Так как AC=-a_x, \mathrm{AB} это длина вектора \vec{a} (что значит, что AB=|\vec{a}|=a), а согласно формуле косинуса разности \cos{(\alpha_1-\pi)}=\cos{\alpha_1}\cdot \cos{\pi}+\sin{\alpha_1}\cdot \sin{\pi}=\cos{\alpha_1}\cdot (-1)+\sin{\alpha_1}\cdot 0=-\cos{\alpha_1}+0=-\cos{\alpha_1} то:
-\cos{\alpha_1}=\large \frac{-a_x}{a}\normalsize;
Откуда выражаем a_x:
a_x=a \cdot \cos{\alpha_1};
Если же нам дан не угол \alpha_1, а угол \alpha_2 равный углу BAC, то по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике \mathrm{ABC}:
\cos{\alpha_2}=\frac{AC}{AB};
Так как AC=-a_x, а \mathrm{AB} это длина вектора \vec{a}, то:
\cos{\alpha_2}=\large \frac{-a_x}{a}\normalsize;
Откуда выражаем a_x:
a_x=-a \cdot \cos{\alpha_2};
Теперь найдём проекцию a_y вектора \vec{a} на ось \mathrm{y}. Эта проекция тоже отрицательная и значит:
a_y=-B_yA_y;
А отрезок \mathrm{B_yA_y} равен отрезку \mathrm{BC}, так как \mathrm{A_yCBB_y}~- прямоугольник. Следовательно:
a_y=-BC;
Теперь опять посмотрим на треугольник \mathrm{ABC}. Он прямоугольный. Угол BAC равен \alpha_1-\pi . По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
\sin{(\alpha_1-\pi)}=\frac{BC}{AB};
Так как BC=-a_y, \mathrm{AB} это длина вектора \vec{a}, а согласно формуле синуса разности \sin{(\alpha_1-\pi)}=\sin{\alpha_1}\cdot \cos{\pi}-\cos{\alpha_1}\cdot \sin{\pi}=\sin{\alpha_1}\cdot (-1)-\cos{\alpha_1}\cdot 0=-\sin{\alpha_1}-0=-\sin{\alpha_1} то:
-\sin{\alpha_1}=\large \frac{-a_y}{a}\normalsize;
Откуда выражаем a_y:
a_y=a \cdot \sin{\alpha_1};
Если же нам дан не угол \alpha_1, а угол \alpha_2 равный углу BAC, то по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике \mathrm{ABC}:
\sin{\alpha_2}=\frac{BC}{AB};
Так как BC=-a_y, а \mathrm{AB} это длина вектора \vec{a}, то:
\sin{\alpha_2}=\frac{-a_y}{a};
Откуда выражаем a_y:
a_y=-a \cdot \sin{\alpha_2};
В этом пособии в дальнейшем под углом между вектором и осью мы будем подразумевать угол, отмерянный от положительного направления оси до вектора, каким в этом примере был угол \alpha_1 (если, конечно, не будет конкретно указано, что дан другой угол). - Каким будет угол между вектором и осью, если его отмерять от положительного направления оси по часовой стрелки до этого вектора? Сделайте и подробно объясните рисунок.
Пусть нам даны вектор \vec{a} и ось \mathrm{x}. Посмотрите на рис. 14.
Рис. 14. Угол, отмеренный от положительного направления оси к вектору по часовой стрелке.
Обозначим начало вектора \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Луч \mathrm{AT} проведём сонаправленным с осью \mathrm{x} (на рисунке этот луч изображён пунктиром). Если мы отмеряем угол \alpha от луча \mathrm{AT} до вектора \vec{a} по часовой стрелке (как показано круглой стрелочкой на рисунке), то угол \alpha получится отрицательным:
\alpha=-\angle BAT;