Ускорение материальной точки.

1. Запишите и подробно объясните формулу для среднего ускорения точки.
   \vec{a}_{ср}=\large \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t};
   где \vec{a}_{ср}~- среднее ускорение точки за промежуток времени \Delta t,
   \Delta \vec{v}~- изменение скорости этой точки за этот промежуток времени \Delta t.
   Среднее ускорение точки за некий промежуток времени равно отношению изменения скорости этой точки, произошедшему за этот промежуток времени, к этому промежутку времени.
2. Что такое движение с постоянным ускорением?
   Движение с постоянным ускорением, это такое движение при котором за любые равные промежутки времени изменение скорости \Delta \vec{v} одинаковое.
3. Что характеризуется ускорением?
   Ускорение точки характеризует быстроту и направление изменения скорости точки.
4. В чём измеряется ускорение в системе СИ? Поясните, что означает эта единица.
   В системе СИ ускорение измеряется в метрах, делённых на секунду в квадрате [\frac{м}{с^2}]. Если ускорение точки 1~\frac{м}{с^2}, это значит, что изменение её скорости, произошедшее за 1~с, равно 1~\frac{м}{с}.
5. Запишите и подробно объясните формулу для мгновенного ускорения точки.
   \vec{a}=\large \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0;
   где \vec{a}~- мгновенное ускорение (когда говорят ускорение часто имеют ввиду именно мгновенное ускорение, и мы будем иметь ввиду мгновенное ускорение, когда будем писать просто ускорение) точки в данный момент времени,
   \Delta \vec{v}~- изменение скорости этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t.
   Запись \Delta t\rightarrow 0 означает, что промежуток времени \Delta t стремится к нулю.
   Мгновенное ускорение точки в данный момент времени равно отношению изменения скорости этой точки, произошедшего начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени, к этому промежутку времени.
   Как и любой другой вектор, мгновенное ускорение можно представить в виде совокупности его проекций на все оси: \vec{a}=(a_x,a_y,a_z).
6. Как направлено мгновенное ускорение точки? Сделайте и подробно объясните рисунок.
   Мгновенное ускорение точки направлено внутрь траектории или вдоль траектории. Посмотрите на рис. 33.
   
   Рис. 33. Направление мгновенного ускорения точки.
   \mathrm{A} и \mathrm{B} две различные точки траектории.
   \vec{a}_A~- ускорение точки, когда она находится в точке траектории \mathrm{A},
   \vec{a}_B~- ускорение точки, когда она находится в точке траектории \mathrm{B},
   \vec{a}_C~- ускорение точки, когда она находится в точке траектории \mathrm{C} (на рисунке изображено ручкой),
   \vec{k}~- произвольный вектор, направленный наружу траектории в точке \mathrm{A},
   \vec{l}~- произвольный вектор, направленный наружу траектории в точке \mathrm{B}.
   На рисунке видно, что ускорение точки направлено внутрь траектории, в точках \mathrm{A} и \mathrm{B}, или вдоль траектории, в точке C, а не наружу, как векторы \vec{k} и \vec{l}.
7. В каком случае мгновенное ускорение точки направлено вдоль траектории?
   Мгновенное ускорение точки направлено вдоль траектории в случае, когда траектория прямая.
   (Логичнее (учитывая, что является причиной, а что следствием) говорить наоборот: что траектория будет прямой, если мгновенное ускорение будет направлено вдоль траектории, то есть сонаправлено со скоростью. И в предыдущем вопросе тоже траектория будет загибаться в ту сторону в какую направленно мгновенное ускорение поэтому и получится, что мгновенное ускорение направлено внутрь траектории).
8. Что физически означает стремящийся к нулю промежуток времени в формуле для мгновенного ускорения точки?
   Стремящийся к нулю промежуток времени в формуле для мгновенного ускорения точки физически означает настолько малый промежуток времени, за который движение можно считать движением с постоянным ускорением.
9. Как можно спроецировать формулу для мгновенного ускорения точки на какую-нибудь ось?
   Чтобы спроецировать формулу для мгновенного ускорения точки на какую-нибудь ось, например ось \mathrm{x}, надо спроецировать на эту ось \mathrm{x} все векторы, входящие в эту формулу и подставить получившиеся проекции вместо самих векторов:
   a_x=\large \frac{\Delta v_x}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0;
   где a_x~- проекция мгновенного ускорения точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени,
   \Delta v_x~- изменение проекции скорости этой точки на ось \mathrm{x}, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t.
   Проекция мгновенного ускорения точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени равна отношению изменения проекции скорости этой точки на ось \mathrm{x}, произошедшего начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени, к этому промежутку времени.
10. Набору каких уравнений равносильно уравнение, являющееся формулой для мгновенного ускорения точки?
    Уравнение, являющееся формулой для мгновенного ускорения точки равносильно системе из уравнений, являющихся его проекциями на все оси:
    \begin{cases}a_x=\large \frac{\Delta v_x}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\\\\a_y=\large \frac{\Delta v_y}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\\\\a_z=\large \frac{\Delta v_z}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\end{cases};
    где a_x~- проекция мгновенного ускорения точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени,
    \Delta v_x~- изменение проекции скорости этой точки на ось \mathrm{x}, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t,
    a_y~- проекция мгновенного ускорения точки на ось \mathrm{y} в данный момент времени,
    \Delta v_y~- изменение проекции скорости этой точки на ось \mathrm{y}, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t,
    a_z~- проекция мгновенного ускорения точки на ось \mathrm{z} в данный момент времени,
    \Delta v_z~- изменение проекции скорости этой точки на ось \mathrm{z}, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t.
11. Запишите и подробно объясните формулу, выражающую мгновенное ускорение точки через производную.
    \vec{a}=\vec{v}'_t;
    где \vec{a}~- зависимость мгновенного ускорения точки от времени,
    \vec{v}'_t~- производная по времени от зависимости скорости точки от времени.
    Мгновенное ускорение точки равно производной по времени от скорости этой точки.
12. Что понимать под производной от вектора скорости?
    Под производной по времени вектора скорости будем понимать совокупность производных по времени от проекций вектора скорости на все оси:
    \vec{v} '_t=\begin{cases}{v_x}' _t\\{v_y}' _t\\{v_z}' _t\end{cases};
    где \vec{v} '_t~- производная по времени от зависимости скорости точки от времени,
    {v_x}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{x} от времени,
    {v_y}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{y} от времени,
    {v_z}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{z} от времени.
13. Чему равны производные по времени от зависимостей от времени всех проекций скорости?
    Производные по времени от всех проекций скорости равны зависимостям от времени всех проекций ускорения на соответствующие оси:
    \begin{cases}{v_x}' _t=a_x(t)\\{v_y}' _t=a_y(t)\\{v_z}' _t=a_z(t)\end{cases};
    где {v_x}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{x} от времени,
    a_x(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{x} ускорения точки,
    {v_y}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{y} от времени,
    a_y(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{y} ускорения точки,
    {v_z}' _t~- производная по времени от зависимости проекции скорости точки на ось \mathrm{z} от времени,
    a_z(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{z} ускорения точки.
14. Приведите пример конкретной зависимости скорости точки от времени и нахождения ускорения этой точки в определённый момент времени.
    Пусть зависимость скорости точки от времени задаётся в системе СИ уравнениями:
    \begin{cases}v_x(t)=t^3\\v_y(t)=3\cdot t+5\cdot t^2\\v_z(t)=-10^4\end{cases};
    Найдём ускорение этой точки в момент времени t=2~с, для этого для начала найдём производные от данных уравнений:
    v_x' (t)=3\cdot t^{3-1}=3\cdot t^2;
    v_y' (t)=(3\cdot t)'+(5\cdot t^2)'=3 \cdot t'+5\cdot (t^2)'=3\cdot 1+5\cdot 2\cdot t=3+10\cdot t=10\cdot t+3;
    v_z' (t)=(-10^4 )'=0;
    Таким образом:
    \begin{cases}a_x(t)=3\cdot t^2\\a_y(t)=10\cdot t+3\\a_z(t)=0\end{cases};
    где a_x (t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{x} ускорения точки,
    a_y (t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{y} ускорения точки,
    a_z (t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{z} ускорения точки.
    Итак: \vec{a}(t)=(a_x (t), a_y (t), a_z (t))=(3\cdot t^2,10\cdot t+3,0);
    где \vec{a}(t)~– зависимость от времени ускорения этой точки.
    Тогда в момент времени 2~с:
    \vec{a}(2)=(a_x (2), a_y (2), a_z (2))=(3\cdot 2^2,10\cdot 2+3,0)=(12,23,0);
    где \vec{a}(2)~– ускорение этой точки в момент времени 2~с,
    a_x (2)~- значение проекции на ось \mathrm{x} ускорения точки в момент времени 2~с,
    a_y (2)~- значение проекции на ось \mathrm{y} ускорения точки в момент времени 2~с,
    a_z (2)~- значение проекции на ось \mathrm{z} ускорения точки в момент времени 2~с.
    И с указанием единиц:
    \vec{a}(2~с)=(a_x (2~с), a_y (2~с), a_z (2~с))=(12~\frac{м}{с^2},23~\frac{м}{с^2},0~\frac{м}{с^2}).
15. Приведите пример зависимостей координаты 5-ти различных точек от времени (так чтобы среди них была возрастающая квадратичная зависимость, возрастающая линейная, константа, убывающая линейная и убывающая квадратичная), нахождения по ним зависимостей проекции скоростей этих точек и нахождения по ним проекции ускорений этих точек. Постройте графики всех этих зависимостей и подробно объясните их.
    Пусть в системе СИ:
    \begin{cases}x_1(t)=t^2+3\\x_2(t)=t+2\\x_3(t)=1\\x_4(t)=-t\\x_5(t)=-t^2-1\end{cases};
    где x_i (t)~- зависимость координаты x i-ой точки от времени. Графики этих зависимостей построены на рис. 34-а.
    Тогда:
    v_{1x} (t)=(x_1)'(t)=(t^2 )'+(3)'=2\cdot t^{2-1}+0=2\cdot t^1=2\cdot t~(\frac{м}{с});
    v_{2x} (t)=x_2'(t)=(t)'+(2)'=(t^1)'+0=1\cdot t^{1-1}=1\cdot t^0=1\cdot 1=1~(\frac{м}{с});
    v_{3x} (t)=x_3'(t)=0;
    v_{4x} (t)=x_4'(t)=(-t)'=(-1\cdot t)'=-1\cdot (t)'=-1\cdot (t^1 )'=-1\cdot 1\cdot t^{1-1}=-1\cdot t^0=-1\cdot 1=-1~(\frac{м}{с});
    v_{5x} (t)=x_5'(t)=(-t^2)'-(1)'=-1\cdot (t^2 )'-0=-1\cdot 2\cdot t^{2-1}=-1\cdot 2\cdot t^1=-2\cdot t~(\frac{м}{с});
    где v_{ix}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости i-ой точки.
    Графики зависимостей проекций на ось x скоростей этих точек построены рис. 34-б.
    Тогда:
    a_{1x}(t)=v_{1x}'(t)=(2\cdot t)'=2\cdot (t')=2\cdot 1\cdot t^{1-1}=2\cdot t^0=2\cdot 1=2~(\frac{м}{с^2});
    a_{2x}(t)=v_{2x}'(t)=(1)'=0;
    a_{3x}(t)=v_{3x}'(t)=(0)'=0;
    a_{4x}(t)=v_{4x}'(t)=(-1)'=0;
    a_{5x}(t)=v_{5x}'(t)=(-2\cdot t)'=-2\cdot (t')=-2\cdot 1\cdot t^{1-1}=-2\cdot t^0=-2\cdot 1=-2~(\frac{м}{с^2});
    где a_{ix}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} ускорения i-ой точки.
    Графики зависимостей проекций на ось \mathrm{x} ускорений этих точек построены рис. 34-в.
    Посмотрите на рис. 34.
    
    Рис. 34. а — графики зависимостей координат x пяти различных точек от времени, б — графики зависимостей проекций скоростей на ось \mathrm{x} этих точек, в — графики зависимостей проекций ускорений на ось \mathrm{x} этих точек.
    Видно, что v_{1x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости первой точки, производная возрастающей по параболе x_1 (t), возрастает по прямой (линейно возрастает).
    v_{2x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости второй точки, производная x_2 (t), возрастающей по прямой, положительная константа.
    v_{3x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости третьей точки, производная x_3 (t), не изменяющейся со временем, равна нулю.¹
    v_{4x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости четвёртой точки, производная убывающей по прямой x_4 (t), отрицательная константа.
    v_{5x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости пятой точки, производная x_5 (t), убывающей по параболе, убывает по прямой.
    a_{1x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} ускорения первой точки, вторая производная x_1 (t) (график которой (x_1 (t))~- парабола с ветвями вверх), положительная константа.
    a_{2x} (t),a_{3x} (t),a_{4x} (t)~- зависимости проекций на ось \mathrm{x} ускорений второй, третьей и четвёртой точек, вторые производные x_2 (t),x_3 (t),x_4 (t) соответственно (графики которых (x_2 (t),x_3 (t),x_4 (t))~- прямые), ноль.
    a_{5x} (t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} ускорения пятой точки, вторая производная x_5 (t) (график которой (x_5 (t))~- парабола с ветвями вниз), отрицательная константа.
16. Что можно сказать о производной возрастающей квадратичной функции?
    Производная от возрастающей по параболе функции (квадратичной) — линейно возрастающая (возрастающая по прямой) функция.
17. Что можно сказать о производной линейно возрастающей функции?
    Производная от линейно возрастающей функции — положительная константа.
18. Что можно сказать о производной линейно убывающей функции?
    Производная от линейно убывающей функции — отрицательная константа.
19. Что можно сказать о производной убывающей квадратичной функции?
    Производная от убывающей квадратичной функции — линейно убывающая функция.
20. Что можно сказать о второй производной квадратичной функции, график которой парабола с ветвями вверх?
    Вторая производная от квадратичной функции, график которой парабола с ветвями вверх — положительная константа.
21. Что можно сказать о второй производной линейной функции?
    Вторая производная от линейной функции (график которой прямая) — ноль.
22. Что можно сказать о второй производной квадратичной функции, график которой парабола с ветвями вниз?
    Вторая производная от квадратичной функции, график которой парабола с ветвями вниз — отрицательная константа.

Сноски:

1. Этот пример хорошо иллюстрирует то, что производная от константы равна нулю.

Ссылки:

1. Эти же вопросы без ответов.
2. Следующая тема (Уравнение равномерного прямолинейного движения).
3. Предыдущая тема (Нахождение пути и перемещения по графику скорости).
4. Для комментариев, касающихся не только ЕГЭ по физике или этого сайта.