- Что такое вектор?
Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. - Как надо помечать букву, обозначающую вектор?
Букву, обозначающую вектор надо помечать сверху стрелочкой, направленной направо. - Приведите пример обозначения вектора. Сделайте и подробно объясните рисунок.
Возьмём отрезок AB. Посмотрите на рис. 9.
Рис. 9. Пример вектора и его обозначение.
Укажем, что его граничная точка \mathrm{A} является началом, а \mathrm{B~-} концом. Сделаем это, пририсовывая в точке \mathrm{B} стрелочку. Назовём вектор \vec{a}, и подпишем его так на рисунке. - Что такое модуль вектора?
Модуль вектора — это его длина. - Как принято сокращённо обозначать модуль вектора?
Сокращённо обозначать модуль вектора принято той же буквой, которой обозначается вектор только без стрелочки сверху. - Приведите пример обозначения какого-нибудь вектора и его модуля.
Вектор \vec{r}, а его модуль r. - Опишите построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда проекция положительна и для случая, когда проекция отрицательна; сделайте и подробно объясните рисунок.
Посмотрите на рис. 10.
Рис. 10. Построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция положительна.
На нём изображены ось \mathrm{x} и вектор \vec{a}. Обозначим начало \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Найдём проекцию начала \vec{a}, то есть точки \mathrm{A}, на ось \mathrm{x}. Для этого проведём через точку \mathrm{A} прямую \mathrm{m} перпендикулярную оси \mathrm{x}. Точку пересечения прямой \mathrm{m} и оси \mathrm{x} обозначим \mathrm{A_x}. Точка \mathrm{A_x} и является проекцией точки \mathrm{A} на ось \mathrm{x}, то есть проекцией начала \vec{a} на ось \mathrm{x}. Аналогично построим проекцию \mathrm{B_x} конца \vec{a} на ось \mathrm{x}. Так как от проекции начала \vec{a} к проекции его конца надо идти в положительном направлении оси \mathrm{x} (угол между \vec{a} и осью x острый), то проекция \vec{a} на ось \mathrm{x} положительна и равна:
a_x=+A_xB_x;
где a_x~- проекция вектора \vec{a} на ось \mathrm{x}, A_xB_x~- длина отрезка \mathrm{A_xB_x}.
Теперь построим проекцию вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция отрицательна.
Посмотрите на рис. 11.
Рис. 11. Построение проекции вектора \vec{a} на ось \mathrm{x} для случая, когда эта проекция отрицательна.
На нём тоже изображены ось \mathrm{x} и вектор \vec{a}, только теперь угол между \vec{a} и осью \mathrm{x} тупой. Обозначим начало \vec{a} точкой \mathrm{A}, а конец точкой \mathrm{B}. Также как в первом случае найдём проекции начала и конца \vec{a}, на ось \mathrm{x}, и назовём их \mathrm{A_x} и \mathrm{B_x} соответственно. Так как от проекции начала \vec{a} к проекции его конца надо идти в отрицательном направлении оси x (угол между \vec{a} и осью \mathrm{x} тупой), то проекция \vec{a} на ось \mathrm{x} отрицательна и равна:
a_x=-A_xB_x;
где a_x~- проекция вектора \vec{a} на ось \mathrm{x}, A_xB_x~- длина отрезка \mathrm{A_xB_x}. - Чем можно полностью заменить вектор?
Вектор можно полностью заменить его проекциями на все оси: \vec{a}=(a_x,a_y,a_z). (Вектор, выраженный через свои проекции, обычно записывается в виде скобочек, в которых через запятую или точку с запятой записываются проекции этого вектора. Причём первой записывается проекция на первую ось (часто ось \mathrm{x}), второй проекция на вторую ось (часто ось \mathrm{y}), третьей на третью ось (часто ось \mathrm{z}). - Чем можно полностью заменить вектор на плоскости?
Вектор на плоскости можно полностью заменить его проекциями на все оси: \vec{a}=(a_x,a_y). - Чем отличаются проекции, полностью заменяющие вектор на плоскости, от проекций, полностью заменяющих вектор в пространстве?
На плоскости этих проекций две, а в пространстве три. - Чем можно полностью заменить вектор на прямой?
Вектор на прямой можно полностью заменить его проекцией на ось: \vec{a}=(a_x). - Чем отличаются проекции, полностью заменяющие вектор на прямой, от проекций, полностью заменяющих вектор в пространстве?
На прямой эта проекция одна, а в пространстве их три.