- Чему равна производная от произведения константы на функцию?
Пусть f(x)=C\cdot u(x), где C~- константа по x, а u(x)~- функция, тогда: f'(x)=C\cdot u'(x), где u'(x)~- производная от функции u(x) по x. То есть производная от произведения константы на функцию равна произведению этой константы на производную от этой функции. - Приведите пример взятия производной от произведения константы на функцию (выражающихся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=5\cdot \sin{x}, здесь 5~- константа, а \sin{x}~- функция, тогда f'(x)=5\cdot (\sin{x})'=5\cdot \cos{x}. - Приведите пример взятия производной от произведения константы на функцию (выражающихся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=5\cdot a^2\cdot x^3, здесь 5\cdot a^2~- константа, а x^3~- функция, тогда f'(x)=5\cdot a^2\cdot (x^3)'=5\cdot a^2\cdot 3\cdot x^{3-1}=15\cdot a^2\cdot x^2. - Чему равна производная от суммы двух функций?
Пусть f(x)=u(x)+v(x), где u(x) и v(x)~- функции, тогда: f'(x)=u'(x)+v'(x), где u'(x)~- производная от функции u(x) по переменной x, а v'(x)~- производная от функции v(x) по переменной x. То есть производная от суммы двух функций равна сумме производных этих функций. - Приведите пример взятия производной от суммы двух функций (выражающихся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=x^3-e^x. Представим функцию f(x) в виде f(x)=x^3+(-e^x), тогда: f'(x)=(x^3)'+(-e^x)'=3\cdot x^{3-1}+(-1\cdot e^x)'=3\cdot x^2+(-1)\cdot (e^x)'=3\cdot x^2+(-1)\cdot e^x=3\cdot x^2-1\cdot e^x=3\cdot x^2-e^x. - Приведите пример взятия производной от суммы трёх функций (выражающихся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=x^k+a\cdot e^x-3\cdot \cos{x}, где k и a не зависят от x. Представим функцию f(x) в виде f(x)=(x^k+a\cdot e^x)+(-3\cdot \cos{x}), тогда: f'(x)=(x^k+a\cdot e^x)'+(-3\cdot \cos{x})'=(x^k)'+(a\cdot e^x)'+(-3)\cdot (\cos{x})'=k\cdot x^{k-1}+a\cdot (e^x)'+(-3)\cdot (-\sin{x})=k\cdot x^{k-1}+a\cdot e^x+3\cdot \sin{x}. - Чему равна производная от произведения двух функций?
Пусть f(x)=u(x)\cdot v(x), где u(x) и v(x)~- функции, тогда: f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x), где u'(x)~- производная от функции u(x) по переменной x, а v'(x)~- производная от функции v(x) по переменной x. То есть производная от произведения двух функций равна сумме произведения производной от первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную от второй функции. - Приведите пример взятия производной от произведения двух функций (выражающихся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=3\cdot x\cdot \sin{x}. Представим функцию f(x) в виде f(x)=(3\cdot x)\cdot \sin{x}, тогда: f'(x)=(3\cdot x)'\cdot \sin{x}+(3\cdot x)\cdot (\sin{x})'=3\cdot x'\cdot \sin{x}+(3\cdot x)\cdot \cos{x}=3\cdot (x^1)'\cdot \sin{x}+3\cdot x\cdot \cos{x}=3\cdot(1\cdot x^{1-1})\cdot \sin{x}+3\cdot x\cdot \cos{x}=3\cdot(1\cdot x^0)\cdot \sin{x}+3\cdot x\cdot \cos{x}=3\cdot(1\cdot 1)\cdot \sin{x}+3\cdot x\cdot \cos{x}=3\cdot \sin{x}+3\cdot x\cdot \cos{x}. - Приведите пример взятия производной от произведения двух функций (выражающихся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=10\cdot x^2\cdot \sin{b} \cdot e^x, где b не зависит от x. Представим функцию f(x) в виде f(x)=10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot e^x=(10\cdot \sin{b} \cdot x^2)\cdot e^x, тогда: f'(x)=(10\cdot \sin{b} \cdot x^2)'\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot (e^x)'=10\cdot \sin{b} \cdot (x^2)'\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot (e^x)'=10\cdot \sin{b} \cdot (2\cdot x^{2-1})\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot e^x=10\cdot \sin{b} \cdot 2\cdot x^{2-1}\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot e^x=20\cdot \sin{b} \cdot x^1\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot e^x=20\cdot \sin{b} \cdot x\cdot e^x+10\cdot \sin{b} \cdot x^2\cdot e^x=10\cdot \sin{b} \cdot x\cdot e^x\cdot (2+x). - Чему равна производная от частного двух функций?
Пусть f(x)=\large \frac{u(x)}{v(x)} \normalsize , где u(x) и v(x)~- функции, тогда: f'(x)=\large \frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^2(x)} \normalsize , где u'(x)~- производная от функции u(x) по переменной x, а v'(x)~- производная от функции v(x) по переменной x. То есть производная от отношения первой функции ко второй равна разности произведения производной от первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную от второй функции, делённой на квадрат второй функции. - Приведите пример взятия производной от частного двух функций (выражающихся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=\large \frac{\sqrt{x}}{\sin{x}}\normalsize , тогда: f'(x)=\large \frac{(\sqrt{x})' \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot (\sin{x})'}{\sin^2{x}}=\frac{(x^{\frac{1}{2}})' \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}}=\frac{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \sin{x}-\sqrt{x} \cdot \cos{x}}{\sin^2{x}} \normalsize . - Приведите пример взятия производной от частного двух функций (выражающихся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=\large \frac{a\cdot \tan{x}}{b} \normalsize , где a и b не зависят от x. Представим функцию f(x) в виде f(x)=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \tan{x} , тогда: f'(x)=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot (\tan{x})'=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large (\frac {\sin{x}}{\cos{x}})' \normalsize=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large \frac {(\sin{x})' \cdot \cos{x}-\sin{x} \cdot (\cos{x})'}{\cos^2{x}} \normalsize=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large \frac {\cos{x} \cdot \cos{x}-\sin{x} \cdot (-\sin{x})}{\cos^2{x}} \normalsize=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large \frac {\cos^2{x}+\sin{x} \cdot \sin{x}}{\cos^2{x}} \normalsize=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large \frac {\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \normalsize=\large \frac{a}{b} \normalsize \cdot \large \frac {1}{\cos^2{x}} \normalsize . - Приведите пример нахождения производной функции (выражающейся только через числа и переменную, по которой берётся производная), использовав для обозначения функции другую букву (не f) и другую переменную, по которой берётся производная (не x).
Пусть x(t)=t^3+\sin{t}, тогда: x'(t)=(t^3)'+(\sin{t})'=3\cdot t^{3-1}+\cos{t}=3\cdot t^2+\cos{t}. - Приведите пример нахождения производной функции (выражающейся не только через числа и переменную, по которой берётся производная), использовав для обозначения функции другую букву (не f) и другую переменную, по которой берётся производная (не x).
Пусть y(f)=\large \frac{x}{f^2} \normalsize +e\cdot f^t, где x и t не зависят от f, а e~- число e, тогда: y'(f)=\large (\frac{x}{f^2})' \normalsize +(e\cdot f^t)'=(x\cdot f^{-2})'+(e\cdot f^t)'=x\cdot (f^{-2})'+e\cdot t \cdot f^{t-1}=x\cdot (-2) \cdot f^{-3}+e\cdot t \cdot f^{t-1}=-2\cdot x \cdot f^{-3}+e\cdot t \cdot f^{t-1}=-2\cdot x \cdot \large \frac{1}{f^3} \normalsize+e\cdot t \cdot f^{t-1}=\large \frac{-2\cdot x}{f^3} \normalsize+e\cdot t \cdot f^{t-1}=-\large \frac{2\cdot x}{f^3} \normalsize+e\cdot t \cdot f^{t-1}. - Что такое сложная функция?
Сложная функция — это функция от функции, то есть функция, аргументом которой является какая-нибудь функция. - Приведите и подробно объясните пример сложной функции.
Пусть f(x)=\sin{(5\cdot x)}. Эту f(x) можно рассмотреть, как функцию h(g)=\sin{g} , где g~- функция от x, g(x)=5\cdot x. Таким образом f(x)=h(g(x)). - Как найти производную от сложной функции?
Пусть f(x)=h(g(x))~- сложная функция, тогда f'(x)=h'(g)\cdot g'(x). То есть производная сложной функции равна произведению производных функций, из которых состоит эта сложная функция. - Приведите пример нахождения производной от сложной функции (выражающейся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=e^{5\cdot x+73}. Представим f(x) как h(g(x)), где g(x)=5\cdot x+73, а h(g)=e^g, (в выражении h(g)=e^g, буква g обозначает функцию g(x), которая является аргументом функции h(g); так часто функция обозначается без скобочек с переменными, от которых зависит эта функция) тогда: f'(x)=h'(g)\cdot g'(x)=(e^g)'_g\cdot (5\cdot x+73)'_x=e^g\cdot ((5\cdot x)'_x+(73)'_x)=e^g\cdot (5\cdot (x)'_x+0)=e^g\cdot (5\cdot (x^1)'_x)=e^g\cdot (5\cdot 1\cdot x^{1-1})=e^g\cdot (5\cdot x^0)=e^g\cdot (5\cdot 1)=e^g\cdot (5)=5\cdot e^g, и, так как g(x)=5\cdot x+73, f'(x)=5\cdot e^{5\cdot x+73}. - Приведите пример нахождения производной от сложной функции (выражающейся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(t)=A\cdot \sin{(b\cdot t+k)}, где A,b и k~- не зависят от t. Представим f(t) как h(g(t)), где g(t)=b\cdot t+k, а h(g)=A\cdot \sin{g}, тогда: f'(t)=h'(g)\cdot g'(t)=(A\cdot \sin{g})'_g\cdot (b\cdot t+k)'_t=A\cdot (\sin{g})'_g\cdot ((b\cdot t)'_t+(k)'_t)=A\cdot \cos{g}\cdot (b\cdot (t)'_t+0)=A\cdot \cos{g}\cdot (b\cdot (t^1)'_t)=A\cdot \cos{g}\cdot (b\cdot 1\cdot t^{1-1})=A\cdot \cos{g}\cdot (b\cdot t^0)=A\cdot \cos{g}\cdot (b\cdot 1)=A\cdot \cos{g}\cdot b=A\cdot b\cdot \cos{g}, и, так как g(t)=b\cdot t+k, f'(t)=A\cdot b\cdot \cos{(b\cdot t+k)}. - Приведите пример функции от нескольких переменных, производные от которой по трём различным переменным являются тремя различными функциями и найдите эти производные.
Пусть f(x,y,u)=(xyu)^2, где x,y и u не зависящие друг от друга переменные. Тогда
1) f'_y(x,y,u)=((xu)^2\cdot (y^2))'_y=(xu)^2\cdot (y^2)'_y=x^2\cdot u^2\cdot 2\cdot y^{2-1}=x^2\cdot u^2\cdot 2\cdot y^1=x^2\cdot u^2\cdot 2\cdot y=2\cdot x^2\cdot u^2\cdot y.
2) f'_u(x,y,u)=((xy)^2\cdot (u^2))'_u=(xy)^2\cdot (u^2)'_u=x^2\cdot y^2\cdot 2\cdot u^{2-1}=x^2\cdot y^2\cdot 2\cdot u^1=x^2\cdot y^2\cdot 2\cdot u=2\cdot x^2\cdot y^2\cdot u.
3) f'_t(x,y,u)=((xyu)^2)'_t=0, где t~- переменная, от которой не зависят x,y,u. - Что такое вторая производная от функции. Проиллюстрируйте ответ формулой.
Вторая производная от функции — это производная от производной этой функции:
f''(x)=(f'(x))';
где f''(x)~- вторая производная от функции f(x), (как видно из этого примера, для обозначения второй производной часто используют два штриха).
f'(x)~- производная (производную функции можно называть первой производной функции) функции f(x). (Иногда говорят просто «производная функции», а не «производная от функции», оба варианта обозначают одно и то же). - Приведите пример функции и нахождения её второй производной.
Пусть f(x)=x^2+2\cdot x-4, тогда f'(x)=(x^2+2\cdot x-4)'=(x^2)'+(2\cdot x)'+(-4)'=2\cdot x^{2-1}+2\cdot (x^1)'+0=2\cdot x^1+2\cdot 1\cdot x^{1-1}=2\cdot x+2\cdot x^0=2\cdot x+2\cdot 1=2\cdot x+2. Это мы нашли первую производную f(x). Теперь найдём вторую: f''(x)=(f'(x))'=(2\cdot x+2)'=(2\cdot x)'+(2)'=2\cdot (x^1)'+0=2\cdot 1\cdot x^{1-1}=2\cdot x^0=2\cdot 1=2.