- Что такое производная?1
Производная некоторой функции f(x) по переменной x~- это функция f'_x(x), (то, что от некоторой функции берётся производная часто обозначается штрихом справа сверху от буквы обозначающей эту функцию или справа сверху от скобочек, в которых находится выражение, задающее эту функцию) значение которой в каждой точке равно скорости изменения f(x) при движении в положительном направлении оси x в этой точке2. (Если не указанно по какой переменной берётся производная, то как правило это значит, что производная берётся по переменной, обозначенной в скобочках после буквы, обозначающей функцию. Например, f'(x), если не указано, по какой переменной берётся производная может означать производную от f(x) по переменной x). - Что означает индекс _x справа снизу от f' в записи f'_x(x)?
Индекс _x справа снизу от f' в записи f'_x(x) означает переменную, по которой берётся производная, в данном случае, что производная берётся по переменной x. - Чему равна производная от константы?
Производная от константы равна нулю. - Что значит константа в предыдущем вопросе про производную от константы?
В вопросе про производную от константы константа означает функцию, не зависящую от переменной, по которой берётся производная (то есть имеющую одно и тоже значение при любом значении этой переменной). - Приведите пример константы (выражающейся только через числа) и производной от неё.
Пусть f(x)=\sqrt{17}-17^{17} это константа, тогда производная от неё это: f'(x)=0. - Приведите пример константы (выражающейся только через числа и переменную, по которой берётся производная) и производной от неё.
f(x)=15+\pi^{17}+x^0-(56-56)\cdot x это константа, тогда производная от неё это: f'(x)=0. - Приведите пример константы (выражающейся не только через числа и переменную, по которой берётся производная) и производной от неё.
Пусть f(x)=y^2+56\cdot z-75, где y и z не зависят от x, это константа, тогда производная от неё (по переменной x) это: f'(x)=0. - Чему равна производная от x^n?
Производная от x^n, где n не зависит от x, равна n\cdot x^{n-1}. - Приведите пример взятия производной от функции вида x^n (выражающейся только через числа и переменную, по которой берётся производная).
(Когда говорят «взять производную», это означает «найти производную». То есть «взятие производной» здесь означает «нахождение производной»). Пусть f(x)=x^5, тогда: f'(x)=5\cdot x^{5-1}=5\cdot x^4. - Приведите пример взятия производной от функции вида x^n (выражающейся не только через числа и переменную, по которой берётся производная).
Пусть f(x)=x^{2\cdot m\cdot n}, где m и n не зависят от x тогда: f'(x)=2\cdot m\cdot n\cdot x^{2\cdot m\cdot n-1}. - Чему равна производная от \sin{x}?
Если f(x)=\sin{x}, то: f'(x)=\cos{x}. - Чему равна производная от \cos{x}?
Если f(x)=\cos{x}, то: f'(x)=-\sin{x}. - Чему равна производная от e^x?
(Здесь e~- математическая константа примерно равная 2.7.... Её часто называют: «число е» или просто «е»). Если f(x)=e^x, то: f'(x)=e^x.
Сноски:
- В этом пособии по физике мы не будем разбирать очень интересное определение производной, мы рассмотрим только чуть-чуть информации о производной, необходимой для понимания формул этого пособия. Информация о производной в этом пособии содержится в основном в этом пункте, следующем пункте, в пункте про мгновенную скорость и в пункте про ускорение.
- Здесь должен был возникнуть вопрос: «Какое ещё изменение функции и движение по оси x в одной точке??» И ещё раз отсылаем в учебник математики изучать удивительное понятие производной. А пока в качестве спойлера: движение по оси \mathrm{x} совершается бесконечно малое.