- По данным модулю начальной скорости, углу между горизонтальной осью и вектором начальной скорости и начальным координатам, запишите зависимости от времени координат по двум осям, проекций скорости на эти оси и проекций ускорения на эти оси при свободном падении. Сделайте и подробно поясните рисунок.
Посмотрите на рис. 35.
Рис. 35. Движение под углом к горизонту.
\mathrm{O}~- начало координат,
ось \mathrm{x} направлена горизонтально то есть вдоль плоскости поверхности Земли, а ось \mathrm{y} направлена вертикально вверх, то есть перпендикулярно плоскости поверхности Земли в сторону от Земли.1
\mathrm{A}~- точка в которой находится рассматриваемая материальная точка в момент начала отсчёта времени (то есть при t=0), пунктиром изображены перпендикуляры опущенные на оси из точки \mathrm{A},
\mathrm{AB}~- луч сонаправленный с осью \mathrm{x}.
\vec{v}_0~- скорость этой точки в момент времени 0 (начальная скорость точки),
\alpha~- угол, отмеряемый от положительного направления оси \mathrm{x} до вектора \vec{v}_0 против часовой стрелки (что на рисунке отмечено круглой стрелочкой),
x_0~- координата x точки в момент времени 0 (начальная координата x точки),
y_0~- координата y точки в момент времени 0 (начальная координата y точки),
\vec{g}~- ускорение свободного падения.
\begin{cases}x(t)=x_0+v_0\cdot \cos{\alpha} \cdot t\\v_x (t)=v_0\cdot \cos{\alpha}=const\\a_x (t)=0\\y(t)=y_0+v_0·\sin{\alpha}\cdot t-\large \frac{g\cdot t^2}{2}\normalsize\\v_y (t)=v_0\cdot \sin{\alpha}\cdot t-g\cdot t\\a_y (t)=-g\end{cases} \Large;
где x(t)~- координата x точки в момент времени t,
x_0~- координата x точки в момент времени 0 (начальная координата x точки),
v_0~- модуль скорости этой точки в момент времени 0 (модуль начальной скорости точки),
\alpha~- угол, отмеряемый от положительного направления оси \mathrm{x} до вектора \vec{v}_0 против часовой стрелки,
t~- время, прошедшее с момента начала отсчёта времени, то есть с момента, когда t=0,
v_x (t)~- проекция скорости точки на ось \mathrm{x} в момент времени t,
a_x (t)~- проекция ускорения точки на ось \mathrm{x} в момент времени t,
y(t)~- координата y точки в момент времени t,
y_0~- координата y точки в момент времени 0 (начальная координата y точки),
g~- модуль ускорения свободного падения,
v_y (t)~- проекция скорости точки на ось \mathrm{y} в момент времени t,
a_y (t)~- проекция ускорения точки на ось \mathrm{y} в момент времени t. - Чем в первую очередь мы пренебрегаем, считая падение свободным и получая зависимости из предыдущего вопроса?
Считая падение свободным и, получая эти зависимости, мы пренебрегаем сопротивлением воздуха (то есть рассматриваем движение так, как будто его (сопротивления воздуха) нет), которое вблизи поверхности Земли довольно значительное. - Чему равен угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена вертикально вверх?
Угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена вертикально вверх, равен (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости против часовой стрелки) 90^\circ или -270^\circ (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости по часовой стрелке). - По данным модулю начальной скорости, которая направлена вертикально вверх и начальным координатам, запишите зависимости от времени координат по двум осям, проекций скорости на эти оси и проекций ускорения на эти оси при свободном падении. Сделайте и подробно поясните рисунок.
Посмотрите на рис. 36.
Рис. 36. Вертикальное свободное падение.
\mathrm{O}~- начало координат,
ось \mathrm{x} направлена горизонтально то есть вдоль плоскости поверхности Земли, а ось \mathrm{y} направлена вертикально вверх, то есть перпендикулярно плоскости поверхности Земли в сторону от Земли.1
\mathrm{A}~- точка в которой находится рассматриваемая материальная точка в момент начала отсчёта времени (то есть при t=0), пунктиром изображены перпендикуляры опущенные на оси из точки \mathrm{A},
\mathrm{AB}~- луч сонаправленный с осью \mathrm{x}.
\vec{v}_0~- скорость этой точки в момент времени 0 (начальная скорость точки),
\alpha~- угол, отмеряемый от положительного направления оси \mathrm{x} до вектора \vec{v}_0 против часовой стрелки (что на рисунке отмечено круглой стрелочкой, также на рисунке указано, что этот угол равен 90^\circ),
x_0~- координата x точки в момент времени 0 (начальная координата x точки),
y_0~- координата y точки в момент времени 0 (начальная координата y точки),
\vec{g}~- ускорение свободного падения.
\begin{cases}x(t)=x_0=const\\v_x (t)=0=const\\a_x (t)=0=const\\y(t)=y_0+v_0·\sin{\alpha}\cdot t-\large \frac{g\cdot t^2}{2}\normalsize\\v_y (t)=v_0\cdot \sin{\alpha}\cdot t-g\cdot t\\a_y (t)=-g\end{cases} \Large;
где x(t)~- координата x точки в момент времени t,
x_0~- координата x точки в момент времени 0 (начальная координата x точки),
v_x (t)~- проекция скорости точки на ось \mathrm{x} в момент времени t,
a_x (t)~- проекция ускорения точки на ось \mathrm{x} в момент времени t,
y(t)~- координата y точки в момент времени t,
y_0~- координата y точки в момент времени 0 (начальная координата y точки),
v_0~- модуль скорости этой точки в момент времени 0 (модуль начальной скорости точки),
\alpha~- угол, отмеряемый от положительного направления оси \mathrm{x} до вектора \vec{v}_0 против часовой стрелки,
t~- время, прошедшее с момента начала отсчёта времени, то есть с момента, когда t=0,
g~- модуль ускорения свободного падения,
v_y (t)~- проекция скорости точки на ось \mathrm{y} в момент времени t,
a_y (t)~- проекция ускорения точки на ось \mathrm{y} в момент времени t. - Можно ли в предыдущем вопросе обойтись только одной осью? Дайте развёрнутый ответ.
Да, можно. Как видно в предыдущем вопросе ни координата x, ни проекция скорости точки на ось \mathrm{x}, ни проекция ускорения точки на ось \mathrm{x}, не изменяются с течением времени. То есть движение происходит только вдоль одной оси \mathrm{y} (такое движение можно называть одномерным). В таком случае нет необходимости использовать две оси и можно обойтись без оси \mathrm{x}. Как в вопросе про описание движения под углом к горизонту мы обошлись без третьей оси \mathrm{z}, потому что движение происходило в плоскости, в которой лежат две оси \mathrm{x} и \mathrm{y} (такое движение можно назвать двумерным). - Чему равен угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена вертикально вниз?
Угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена вертикально вниз, равен (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости против часовой стрелки) 270^\circ или -90^\circ (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости по часовой стрелке). - Чему равен угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена горизонтально?
Угол между горизонтальной осью и вектором начальной скорости, если начальная скорость направлена горизонтально в туже сторону, что и эта ось равен (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости против часовой стрелки) 0^\circ; а если начальная скорость направлена горизонтально в противоположную оси сторону, то угол равен 180^\circ (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости против часовой стрелки) и -180^\circ (если его отмерять от положительного направления горизонтальной оси до вектора начальной скорости по часовой стрелке).
(В дальнейшем, если не будет уточнение, то под углом между осью и вектором мы будем понимать угол, отмеряемый от положительного направления оси до вектора против часовой стрелки). - На конкретном примере движения тела, брошенного под углом к горизонту, покажите, как получить уравнение траектории тела. Сделайте и подробно поясните рисунок.
Пусть точка имеет начальную скорость, модуль которой v_0=10~\frac{м}{с}, а угол, между которой и горизонтальной осью (направленной вдоль плоскости поверхности Земли) \alpha=60^\circ. Пусть начальные координаты точки равны нулю: x_0=0~м,y_0=0~м.
Посмотрите на рис. 37.
Рис. 37. Траектория тела, брошенного под углом к горизонту.
Ось \mathrm{x} направлена горизонтально, то есть вдоль плоскости поверхности Земли, а ось \mathrm{y} направлена вертикально вверх, то есть перпендикулярно плоскости поверхности Земли в сторону от Земли.
\vec{v}_0~- скорость этой точки в момент времени 0 (начальная скорость точки),
\alpha~- угол между скоростью этой точки и осью \mathrm{x} (закруглённой стрелочкой на рисунке показано, что этот угол отмеряется от положительного направления оси \mathrm{x} до вектора \vec{v}_0 против часовой стрелки);
\vec{g}~- ускорение свободного падения.
Сплошная линия, идущая поверх пунктирной — траектория тела. Пунктирная линия график уравнения, используемого для построения траектории тела.
Запишем зависимости координат этой точки от времени:
\begin{cases}x(t)=x_0+v_0\cdot \cos{\alpha} \cdot t\\y(t)=y_0+v_0·\sin{\alpha}\cdot t-\large \frac{g\cdot t^2}{2}\normalsize \end{cases} \Large;
где x(t)~- координата x точки в момент времени t,
x_0~- координата x точки в момент времени 0 (начальная координата x точки), в нашем случае x_0=0~м,
v_0~- модуль скорости этой точки в момент времени 0 (модуль начальной скорости точки), в нашем случае v_0=10~\frac{м}{с},
\alpha~- угол между осью \mathrm{x} и скоростью точки, в нашем случае \alpha=60^\circ,
t~- время, прошедшее с момента начала отсчёта времени, то есть с момента, когда t=0,
y(t)~- координата y точки в момент времени t,
y_0~- координата y точки в момент времени 0 (начальная координата y точки), в нашем случае y_0=0~м,
g~- модуль ускорения свободного падения, как обычно делается на ЕГЭ возьмём g=10~\frac{м}{с^2}.
Подставив в зависимости координат этой точки от времени наши конкретные значения, в системе СИ получим:
\begin{cases}x(t)=0+10\cdot \cos{60^\circ} \cdot t\\y(t)=0+10·\sin{60^\circ}\cdot t-5\cdot t^2\end{cases}\large;
\begin{cases}x(t)=5 \cdot t\\y(t)=5\cdot \sqrt{3}\cdot t-5\cdot t^2\end{cases}\large;
Выразим t из первого уравнения системы и подставим полученное для него выражение во второе уравнение:
\begin{cases}t=\large \frac{x(t)}{5}\normalsize\\y(t)=5\cdot \sqrt{3}\cdot \large \frac{x(t)}{5}\normalsize -5\cdot \large (\frac{x(t)}{5})^2\end{cases}\large;
Теперь рассмотрим отдельно второе уравнение системы:
y(t)=5\cdot \sqrt{3}\cdot \large \frac{x(t)}{5}\normalsize -5\cdot \large (\frac{x(t)}{5})^2;
y(t)=\sqrt{3}\cdot x(t)- \large \frac{(x(t))^2}{5};
y(t)=\sqrt{3}\cdot x(t)- 0.2\cdot (x(t))^2;
Таким образом, мы получили зависимость координаты y (y(t) в уравнении) от координаты x (x(t) в уравнении) нашей точки в каждый момент времени t.
Округлим его:
y(t)=1.7\cdot x(t)- 0.2\cdot (x(t))^2;
Видно, что эта зависимость — квадратичная, а значит её график — парабола, построим эту параболу пунктиром на нашем рис. 37.
Вылетев из точки (0,0) наше тело будет двигаться по этой параболе, пока не упадёт на Землю в точке координатами (8.5,0). (Конечно, если бы, например, правее точки (8,0) начиналась глубокая яма, тело не упало бы на землю в точке (8.5,0), а продолжало движение, но так как форма поверхности Земли не уточняется в условии, будем считать её ровной. (Так часто бывает, когда условия даны недостаточно полно, все необходимые уточнения берутся по умолчанию, как правило, по умолчанию выбираются наиболее обычные условия). Левее точки (0,0) и правее точки (8.5,0) тело находиться не будет, учтём это и получим искомое уравнение2 траектории точки:
\begin{cases}y(t)=1.7\cdot x(t)- 0.2\cdot (x(t))^2\\x(t)\ge 0\\x(t)\le 8.5\end{cases}\large;
Для ответа запишем его с единицами измерения (и для наглядности без уточнения, что x зависит от t):
\begin{cases}y(t)=1.7\cdot x- 0.2~м^{-1}\cdot x^2\\x\ge 0~м\\x\le 8.5~м\end{cases}\large;
Построим его график карандашом сплошной линией поверх пунктирной на нашем рис. 37, он (график) и будет траекторией тела. - Как в ответе на предыдущий вопрос выбрано до скольких значащих цифр выполнять округление?
Когда не указано, до какой точности надо округлять, нам надо самим выбрать точность округления, исходя из точности данных нам в условии задачи величин и грубости пренебрежений, сделанных нами при решении задачи. Все величины в условии к задаче в предыдущем пункте имеют только одну значащую цифру (цифру в числе отличную от нуля). Решая эту задачу, мы пренебрегаем значительным сопротивлением воздуха, поэтому округлили довольно сильно до двух значащих цифр.
Сноски:
- Такое расположение осей при решении задач, действие которых разворачивается вблизи поверхности Земли используется очень часто.
- Точнее наверно надо сказать систему уравнений и неравенств траектории точки. А как описать эту же траекторию с помощью одного уравнения?)