- Запишите и подробно объясните формулу для мгновенной скорости точки.
\vec{v}=\large \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0;
где \vec{v}~- мгновенная скорость точки в данный момент времени,
\Delta \vec{r}~- перемещение этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t.
Запись \Delta t\rightarrow 0 означает, что промежуток времени \Delta t стремится к нулю.
Мгновенная скорость точки в данный момент времени равна отношению перемещения этой точки, произошедшего начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени, к этому промежутку времени.
Как и любой другой вектор, мгновенную скорость можно представить в виде совокупности её проекций на все оси: \vec{v}=(v_x,v_y,v_z). - Как направлена мгновенная скорость точки? Сделайте и подробно объясните рисунок.
Мгновенная скорость материальной точки направлена по касательной к траектории этой материальной точки, проведенной в той точке траектории, в которой определяется направление мгновенной скорости. Посмотрите на рис. 28.
Рис. 28. Направление мгновенной скорости точки. \mathrm{a}~- касательная к траектории, проведённая в точке \mathrm{A} траектории. \vec{v}~- мгновенная скорость материальной точки, когда эта материальная точка находится в точке \mathrm{A} траектории. - Что физически означает стремящийся к нулю промежуток времени в формуле для мгновенной скорости точки?
Стремящийся к нулю промежуток времени в формуле для мгновенной скорости физически означает настолько малый промежуток времени, за который движение можно считать равномерным и прямолинейным. - Как можно спроецировать формулу для мгновенной скорости точки на какую-нибудь ось?
Чтобы спроецировать формулу для мгновенной скорости точки на какую-нибудь ось, например ось \mathrm{x}, надо спроецировать на эту ось \mathrm{x} все векторы, входящие в эту формулу и подставить получившиеся проекции вместо самих векторов:
v_x=\large \frac{\Delta x}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0;
где v_x~- проекция мгновенной скорости точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени,
\Delta x~- изменение координаты x этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t.
Проекция мгновенной скорости точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени равна отношению изменения координаты x этой точки, произошедшего начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени, к этому промежутку времени. - Любое ли векторное уравнение можно так проецировать? Дайте развёрнутый ответ.
Да, так можно проецировать любое векторное уравнение на любую ось. Если верно векторное уравнение, то верно и уравнение, полученное в результате его проецирования на любую ось. - Набору каких уравнений равносильно уравнение, являющееся формулой для мгновенной скорости точки?
Уравнение, являющееся формулой для мгновенной скорости точки равносильно системе из уравнений, являющихся его проекциями на все оси:
\begin{cases}v_x=\large \frac{\Delta x}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\\\\v_y=\large \frac{\Delta y}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\\\\v_z=\large \frac{\Delta z}{\Delta t}~\normalsize при~\Delta t\rightarrow 0\end{cases};
где v_x~- проекция мгновенной скорости точки на ось \mathrm{x} в данный момент времени,
\Delta x~- изменение координаты x этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t,
v_y~- проекция мгновенной скорости точки на ось \mathrm{y} в данный момент времени,
\Delta y~- изменение координаты y этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t,
v_z~- проекция мгновенной скорости точки на ось \mathrm{z} в данный момент времени,
\Delta z~- изменение координаты z этой точки, произошедшее начиная с данного момента времени за стремящийся к нулю промежуток времени \Delta t. - Любое ли векторное уравнение равносильно системе из уравнений, являющихся его проекциями на все оси?
Да, любое векторное уравнение равносильно системе из уравнений, являющихся его проекциями на все оси. - Запишите и подробно объясните формулу для нахождения пути при равномерном движении тела.
S=v\cdot t;
где S~- пройденный материальной точкой путь,
v~- модуль скорости этой точки,
t~- величина промежутка времени, за который требуется определить путь.
То есть при равномерном движении материальной точки пройденный ей за определённый промежуток времени путь равен произведению модуля её скорости на этот промежуток времени. - Почему в предыдущем вопросе спрашивалось про тело, а в ответе говорится о материальной точке?
Потому что вопрос специально менее подробный чем ответ (в этом пособии вопросы часто будут менее подробны, чем ответы, чтобы не подсказывать своим содержанием ответ). - Что можно сказать о применимости формулы из вопроса «Запишите и подробно объясните формулу для нахождения пути при равномерном движении тела», обратив внимание на то, что в вопросе говорится о теле, а в ответе о материальной точке?
Можно сказать, что эту формулу можно применять, когда тело можно принять за материальную точку.1 - Запишите и подробно объясните формулу, выражающую мгновенную скорость точки через производную.
\vec{v}=\vec{r} '_t;
где \vec{v}~- зависимость мгновенной скорости точки от времени,
\vec{r} '_t~- производная по времени от зависимости радиус-вектора точки от времени.
Мгновенная скорость точки равна производной по времени от радиус-вектора этой точки. - Что понимать под производной от радиус-вектора?
Под производной по времени от зависимости радиус-вектора точки от времени будем понимать совокупность производных по времени от зависимостей всех координат (координат по всем осям) этой точки от времени:
\vec{r} '_t=\begin{cases}x'_t\\y'_t\\z'_t\end{cases};
где \vec{r} '_t~- производная по времени от зависимости радиус-вектора точки в пространстве от времени,
x'_t~- производная по времени от зависимости координаты x точки от времени,
y'_t~- производная по времени от зависимости координаты y точки от времени,
z'_t~- производная по времени от зависимости координаты z точки от времени. - Чему равны производные по времени от зависимостей от времени всех координат точки в пространстве?
Производные по времени от зависимостей от времени всех координат точки в пространстве равны зависимостям от времени проекций скорости этой точки на соответствующие оси:
\begin{cases}x'_t=v_x(t)\\y'_t=v_y(t)\\z'_t=v_z(t)\end{cases};
где x'_t~- производная по времени от зависимости координаты x точки от времени,
v_x(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{x} скорости точки,
y'_t~- производная по времени от зависимости координаты y точки от времени,
v_y(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{y} скорости точки,
z'_t~- производная по времени от зависимости координаты z точки от времени,
v_z(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{z} скорости точки. - Приведите пример конкретной зависимости радиус-вектора точки от времени и нахождения скорости этой точки в определённый момент времени.
Пусть зависимость радиус-вектора точки от времени задаётся в системе СИ кинематическими уравнениями:
\begin{cases}x(t)=t^2\\y(t)=10+5\cdot t\\z(t)=11\end{cases};
Найдём мгновенную скорость этой точки в момент времени t=3~с, для этого для начала найдём производные от кинематических уравнений:
x'(t)=2\cdot t^{2-1}=2\cdot t^1=2\cdot t;
y'(t)=(10)'+(5\cdot t)'=0+5\cdot t'=5\cdot (t^1)'=5\cdot (1\cdot t^{1-1})=5\cdot (1\cdot t^0)=5\cdot (1\cdot 1)=5;
z'(t)=0;
Таким образом:
\begin{cases}v_x(t)=2\cdot t\\v_y(t)=5\\v_z(t)=0\end{cases};
где v_x(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{x} скорости точки,
v_y(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{y} скорости точки,
v_z(t)~- зависимость от времени проекции на ось \mathrm{z} скорости точки.
Итак: \vec{v}(t)=(v_x(t),v_y(t),v_z(t))=(2\cdot t,5,0);
где \vec{v}(t)~- зависимость от времени мгновенной скорости этой точки.
Тогда в момент времени 3~с:
\vec{v}(3)=(v_x(3),v_y(3),v_z(3))=(2\cdot 3,5,0)=(6,5,0);
где \vec{v}(3)~- скорость этой точки в момент времени 3~с,
v_x(3)~- значение проекции на ось \mathrm{x} скорости точки в момент времени 3~с,
v_y(3)~- значение проекции на ось \mathrm{y} скорости точки в момент времени 3~с,
v_z(3)~- значение проекции на ось \mathrm{z} скорости точки в момент времени 3~с.
И с указанием единиц измерения:
\vec{v}(3~с)=(v_x(3~с),v_y(3~с),v_z(3~с))=(6~\frac{м}{с},5~\frac{м}{с},0~\frac{м}{с});
(Даже если в задаче сказано, что все величины указаны в СИ, в ответе принято указать единицы измерения). - В каких единицах будут выражены величины полученные по формуле для единиц СИ, если в неё подставить все величины в единицах СИ?
Если все величины в формуле для единиц СИ подставить в единицах СИ, то и полученные по этой формуле величины будут выражены в СИ (в этом пособии все формулы будут приводиться для единиц СИ, если отдельно не будет указываться для каких единиц приведена формула). - Приведите пример зависимостей координаты 5-ти различных точек от времени (выберите такие зависимости, чтобы среди них было две линейных возрастающих, одна константа и две линейных убывающих) и нахождения по ним зависимостей проекции скоростей этих точек. Постройте графики всех этих зависимостей и подробно объясните их.
Пусть в системе СИ:
\begin{cases}x_1(t)=3\cdot t+2\\x_2(t)=t+2\\x_3(t)=1\\x_4(t)=-t\\x_5(t)=-3\cdot t\end{cases};
где x_1(t)~- зависимость координаты \mathrm{x} первой точки от времени,
x_2(t)~- зависимость координаты \mathrm{x} второй точки от времени,
x_3(t)~- зависимость координаты \mathrm{x} третьей точки от времени,
x_4(t)~- зависимость координаты \mathrm{x} четвёртой точки от времени,
x_5(t)~- зависимость координаты \mathrm{x} пятой точки от времени.
(Графики этих зависимостей построены на рис. 29-а).
Тогда:
v_{1x}(t)=x_1'(t)=(3\cdot t)'+(2)'=3\cdot (t)'+0=3 \cdot(t^1)'=3\cdot 1\cdot t^{1-1}=3\cdot t^0=3\cdot 1=3~(\frac{м}{с});
v_{2x}(t)=x_2'(t)=(t)'+(2)'=(t^1)'+0=1\cdot t^{1-1}=1\cdot t^0=1\cdot 1=1~(\frac{м}{с});
v_{3x}(t)=x_3'(t)=0~(\frac{м}{с});
v_{4x}(t)=x_4'(t)=(-t)'=(-1\cdot t)'=-1\cdot (t)'=-1\cdot (t^1)'=-1\cdot 1\cdot t^{1-1}=-1\cdot t^0=-1\cdot 1=-1~(\frac{м}{с});
v_{5x}(t)=x_5'(t)=(-3\cdot t)'=-3\cdot (t)'=-3\cdot (t^1 )'=-3\cdot 1\cdot t^{1-1}=-3\cdot t^0=-3\cdot 1=-3~(\frac{м}{с});
где v_{ix}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости i-ой (i-ой читается «итой») точки.
(Таким образом, с помощью замены конкретного натурального числа на i, можно написать сколько угодно однотипных фраз или уравнений в одном. Эту фразу надо читать так: сначала читаем её, заменяя i на первое значение (по нашим уравнениям видно, что первое значение i это 1 и фраза прочитается так: v_{1x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости 1-ой точки). Затем читаем эту фразу, заменяя i на следующее значение (у нас это 2 и фраза прочитается так: v_{2x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости 2-ой точки). И так пока не переберём все значения i. Конечно, не обязательно читать все получающиеся фразы или уравнения, можно сразу по записи с i понять их смысл. Иногда вместо i используются другие буквы).
Графики зависимостей проекций на ось x скоростей этих точек построены рис. 29-б.
Посмотрите на рис. 29.
Рис. 29. а — графики зависимостей координат x пяти различных точек от времени, б — графики зависимостей проекций скоростей на ось x этих точек.
На рисунке видно, что:
v_{1x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости первой точки, производная возрастающей x_1(t), положительная.
v_{2x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости второй точки, производная x_2(t) (возрастающей медленнее, чем x_1(t)) меньше, чем v_{1x}(t).
v_{3x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости третьей точки, производная x_3(t), не изменяющейся со временем, равна нулю.
v_{4x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости четвёртой точки, производная убывающей x_4(t), отрицательная.
v_{5x}(t)~- зависимость проекции на ось \mathrm{x} скорости пятой точки, производная x_5(t) (убывающей быстрее, чем x_4(t)) меньше, чем v_{4x}(t). - Когда единицы измерения, получившейся в конце математических преобразований величины, принято указывать в скобочках?
Когда во время математических преобразований единицы измерения величин не указываются, то единицы измерения, получившейся в конце величины, принято указывать в скобочках. - Что можно сказать о производной, возрастающей функции?
Когда функция возрастает – её производная положительная. - Как связана скорость возрастания функции и её производная?
Чем быстрее возрастает функция (чем круче её график), тем больше её производная. - Что можно сказать о производной, убывающей функции?
Когда функция убывает – её производная отрицательная. - Как связана скорость убывания функции и её производная?
Чем быстрее убывает функция (чем круче её график), тем меньше её производная.
Здравствуйте, в теории «мгновенная скорость материальной точки» в 16 вопросе пояснения ко всем пяти зависимостям (х1(t), x2(t) и тд) даны одинаковые, там сказано, что это зависимость первой точки. Но в условии задания сказано про пять точек. Я предположила, что это опечатка
Здравствуйте, Екатерина, спасибо! Исправил. Это действительно была опечатка.