- Приведите пример механических колебаний.
Например, девочка качается на качелях, в этом случае она совершает механические колебания. - Приведите пример немеханических колебаний.
Например, температура воды в водохранилище увеличивается к вечеру и уменьшается к утру и так несколько раз подряд, в этом случае температура воды совершает колебания. - Что такое гармонические колебания?
Гармоническими колебаниями называется изменение физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса. - Запишите кинематическое уравнение для гармонических колебаний и приведите пример графика такого конкретного уравнения.
x(t)=A\cdot \sin{(ω\cdot t+φ_0 )};
где x(t)~- значение величины x (например, координаты точки), совершающей гармонические колебания от времени t.
A~- амплитуда этих колебаний,
ω~- угловая частота этих колебаний,
t~- время, прошедшее с начала отсчёта времени,
φ_0~- начальная фаза этих колебаний.
График построим, например, для механических колебаний, то есть величина x будет координатой материальной точки. Пусть A=2~м,ω=\frac{π}{2}~рад/с,φ_0=\frac{π}{4}~рад.
Посмотрите на рис. 64.
Рис. 64. График гармонических колебаний.
То есть график зависимости величины x, совершающей гармонические колебания от времени t.
A~- амплитуда этих колебаний,
T~- период этих колебаний. - Что такое амплитуда гармонических колебаний?
Амплитуда гармонических колебаний — это модуль наибольшего отклонения колеблющейся величины от среднего значения (смотри рис. 64). - В чём измеряется амплитуда в СИ?
Амплитуда в СИ измеряется в том же в чём и колеблющаяся величина. - Приведите пример, в чём может измеряться амплитуда в СИ.
Например, амплитуда координаты, при гармонических колебаниях материальной точки, измеряется в СИ в метрах [м], так как координата в СИ измеряется в метрах [м]. - Чему равна амплитуда колебаний, изображённых на рисунке 64?
Амплитуда колебаний, изображённых на рис. 64 равна 2 м. - Что такое фаза гармонических колебаний?
Фаза гармонических колебаний, это аргумент функции синуса или косинуса в кинематическом уравнении этих гармонических колебаний: (ω\cdot t+φ_0 ). - В чём измеряется фаза в СИ?
Фаза в СИ измеряется в радианах [рад]. - Что такое начальная фаза гармонических колебаний?
Начальная фаза гармонических колебаний — это фаза этих колебаний в момент времени t=0, то есть в начальный момент времени. - Запишите формулу для скорости величины, колеблющейся по гармоническому закону.
v_x (t)=x_t';
где v_x (t)~- скорость (конечно, под скоростью величины, здесь имеется ввиду, скорость изменения этой величины) величины x (например, в случае, когда x координата материальной точки, проекция скорости этой материальной точки на ось \mathrm{x}), совершающей гармонические колебания, в момент времени t,
x_t'~- производная по времени от зависимости от времени этой величины. - Примените формулу из предыдущего вопроса для получения формулы для скорости величины.
v_x (t)=x_t'=(A\cdot \sin{(ω\cdot t+φ_0 )} )_t'=A\cdot (\sin{(ω\cdot t+φ_0 )} )_t'=A\cdot (ω\cdot t+φ_0 )_t' \cdot (\sin{(ω\cdot t+φ_0 )} )'_{(ω\cdot t+φ_0 )}=A\cdot ω\cdot cos(ω\cdot t+φ_0 );
Когда мы брали эту производную, мы считали, что амплитуда колебаний A и угловая частота ω не зависят от времени. Так обычно считают на ЕГЭ. - Запишите две формулы для ускорения величины, колеблющейся по гармоническому закону.
a_x (t) =(v_x )_t'=x_t'';
где a_x (t)~- ускорение (под ускорением величины имеется ввиду, скорость изменения скорости изменения этой величины) величины x (например, в случае, когда x координата материальной точки, проекция ускорения этой материальной точки на ось \mathrm{x}), совершающей гармонические колебания, в момент времени t,
(v_x )_t'~- производная по времени от зависимости от времени скорости изменения этой величины,
x_t''~- вторая производная по времени от зависимости от времени этой величины. - Примените формулу из предыдущего вопроса для получения двух формул для ускорения величины.
a_x (t) =(v_x )_t' =(A\cdot ω\cdot \cos{(ω\cdot t+φ_0 )} )_t'=A\cdot ω\cdot (ω\cdot t+φ_0 )_t'\cdot (\cos{(ω\cdot t+φ_0 )} )'_{(ω\cdot t+φ_0 )}=A\cdot ω\cdot ω\cdot (-\sin{(ω\cdot t+φ_0 )} )=-ω^2\cdot A\cdot \sin{(ω\cdot t+φ_0 )}=-ω^2\cdot x(t); - Что такое свободные колебания?
Свободные колебания, это колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе. - Приведите пример свободных колебаний, сделайте рисунок.
Пусть груз прикреплён к пружине, которая прикреплена к стене. Рассмотрим систему, состоящую из трёх тел: груза, пружины и стены. Пусть сначала какая-нибудь внешняя сила переместит груз из положения с координатой 0 (смотри рис. 65-(0)) в положение с координатой A и прекратит действовать на груз, предоставив нашу систему самой себе, то есть, оставив её в состоянии, когда равнодействующая внешних сил, действующих на каждое её тело равна нулю. Тогда система начнёт совершать свободные колебания. - Когда возникают гармонические колебания? Проиллюстрируйте ответ формулой, объясните эту формулу на примере.
Гармонические колебания возникают, когда ускорение a_x некоторой величины x оказывается прямопропорционально по модулю самой величине x и противоположно ей по знаку:
m\cdot a_x=-k\cdot x;
где m~- некоторая положительная величина (например, в случае груза на пружине, масса этого груза),
a_x~- ускорение величины x (например, в случае груза на пружине, проекция на ось \mathrm{x}, введённую как показано на рис. 46, ускорения этого груза), (координатой груза будем считать координату конца пружины, тогда и проекция ускорения груза будет равно ускорению конца пружины. То есть в данном случае груз можно считать материальной точкой),
k~- некоторая положительная величина (например, в случае груза на пружине, жёсткость этой пружины),
x~- эта величина (например, в случае груза на пружине координата по оси \mathrm{x}, введённую как показано на рис. 46, этого груза).
В случае, изображённом на рис. 46, это уравнение является проекцией второго закона Ньютона, записанного в проекции на ось x. - В каком случае возникшие свободные гармонические колебания будут происходить по формуле кинематического уравнения для гармонических колебаний?
В случае, когда потерями механической энергии системы, совершающей колебания можно пренебречь. - Запишите формулу, связывающую величины, входящие в формулу из вопроса 18., с угловой частотой.
k=m\cdot ω^2;
где ω~- угловая частота гармонических колебаний величины x, для которой выполняется уравнение, записанное в ответе на вопрос 18. - На примере колебаний груза на пружине расскажите о превращениях энергии, происходящих при гармонических колебаниях, сделайте рисунки.
Пусть груз на пружине оттянули от положения равновесия и отпустили, этот момент времени назовём t_0 и примем за начальный (t_0=0), он изображён на рис. 65-(0) (и вообще в этом вопросе момент времени, изображённый на рис. 65-(i) будем называть t_i).
Вот рисунок 65:
Рис. 65. Колебания груза на пружине.
Начало оси (x=0) выбрано так, чтобы координата конца недеформированной пружины была равна нулю.
m~- масса этого груза,
k~- жёсткость этой пружины.
В этот момент времени координата груза x_0=A (и вообще в этом вопросе координату груза в момент времени t_i будем называть x_i), где A~- амплитуда колебаний. А полная механическая энергия нашей системы тел, состоящей из этого груза, этой пружины и стены, к которой прикреплена эта пружина E_{мех0}=E_{кин0}+E_{пот0}=0+E_{пот0}=\large \frac{k\cdot A^2}{2}, (и вообще в этом вопросе механическую энергию нашей системы тел в момент времени t_i будем называть E_{мехi}), где E_{кин0}~- кинетическая энергия нашей системы тел в момент времени t_0 (и вообще в этом вопросе кинетическую энергию нашей системы тел в момент времени t_i будем называть E_{кинi}), а E_{пот0}~- потенциальная энергия нашей системы тел в момент времени t_0 (и вообще в этом вопросе потенциальную энергию нашей системы тел в момент времени t_i будем называть E_{потi}). Таким образом, в момент времени t_0 система обладает только потенциальной энергией. С течением времени сила упругости, действующая на груз со стороны пружины, будет заставлять груз набирать скорость, направленную влево, груз будет двигаться влево. При этом удлинение пружины будет уменьшаться; в результате, потенциальная энергия системы E_{пот} будет уменьшаться, а кинетическая энергия системы E_{кин} будет увеличиваться, таким образом, потенциальная энергия системы будет переходить в кинетическую. На рис. 65-(1) изображён некоторый момент в течение этого процесса. \vec{v}_1~- это скорость груза в момент времени t_1 (и вообще в этом вопросе скорость груза в момент времени t_i будем называть \vec{v}_i). E_{мех1}=E_{кин1}+E_{пот1}=\large \frac{m\cdot v_1^2}{2}+\frac{k\cdot x_1^2}{2}. С течением времени дальше координата груза достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 65-(2). {v}_2={v}_{max}, где v_{max}~- максимальное значение модуля скорости, которое называется амплитудой скорости. E_{мех2}=E_{кин2}+E_{пот2}=E_{кин2}+0=\large \frac {m\cdot v_{max}^2}{2}, таким образом к моменту времени t_2 потенциальная энергия системы полностью перейдёт в кинетическую. С течением времени дальше, груз продолжит движение влево, сила упругости будет замедлять его движение в результате кинетическая энергия системы будет уменьшаться; пружина будет сжиматься, и следовательно потенциальная энергия системы будет расти, таким образом, кинетическая энергия системы будет переходить в потенциальную. На рис. 65-(3) изображён некоторый момент в течение этого процесса. E_{мех3}=E_{кин3}+E_{пот3}=\large \frac{m\cdot v_3^2}{2}+\frac{k\cdot x_3^2}{2}. С течением времени дальше скорость груза достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 65-(4). x_4=-A.~E_{мех4}=E_{кин4}+E_{пот4}=0+E_{пот4}=\large \frac{k\cdot A^2}{2}, таким образом к моменту времени t_4 кинетическая энергия системы полностью перейдёт в потенциальную. С течением времени сила упругости, действующая на груз со стороны пружины, будет заставлять груз набирать скорость, направленную вправо, груз будет двигаться вправо. При этом сжатие пружины будет уменьшаться; в результате, потенциальная энергия системы E_{пот} будет уменьшаться, а кинетическая энергия системы E_{кин} будет увеличиваться, таким образом, потенциальная энергия системы будет переходить в кинетическую. На рис. 65-(5) изображён некоторый момент в течение этого процесса. E_{мех5}=E_{кин5}+E_{пот5}=\large \frac{m\cdot v_5^2}{2}+\frac{k\cdot x_5^2}{2}. С течением времени дальше координата груза достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 65-(6) (обратите внимание на этом рисунке с помощью вектора \vec{v}_{max} обозначен другой вектор, чем на рис. 65-(2). Они направлены в разные стороны, хоть и имеют одинаковые модули. Так часто делают, чтобы не перегружать запись индексами, а направление вектора различают по рисунку). E_{мех6}=E_{кин6}+E_{пот6}=E_{кин6}+0=\large \frac{m\cdot v_{max}^2}{2}, таким образом к моменту времени t_6 потенциальная энергия системы полностью перейдёт в кинетическую. С течением времени дальше, груз продолжит движение вправо, сила упругости будет замедлять его движение в результате кинетическая энергия системы будет уменьшаться; пружина будет растягиваться, и следовательно потенциальная энергия системы будет расти, таким образом, кинетическая энергия системы будет переходить в потенциальную. На рис. 65-(7) изображён некоторый момент в течение этого процесса. E_{мех7}=E_{кин7}+E_{пот7}=\large \frac{m\cdot v_7^2}{2}+\frac{k\cdot x_7^2}{2}. С течением времени дальше скорость груза достигнет нуля, момент времени, когда это произойдёт изображён на рис. 65-(8). x_8=A.~E_{мех8}=E_{кин8}+E_{пот8}=0+E_{пот8}=\large \frac{k\cdot A^2}{2}, таким образом к моменту времени t_8 кинетическая энергия системы полностью перейдёт в потенциальную. Кроме того, к этому моменту времени все характеристики колеблющейся системы (в данном случае определяемые координатой и скоростью груза) впервые вернуться к значениям, которые они уже принимали раньше (в данном случае в момент времени t_0), а значит система за время с момента времени t_0 до момента времени t_8 совершила одно полное колебание. А значит (раз все характеристики системы вернулись к значениям, которые они уже принимали раньше) в дальнейшем движение системы будет повторяться. В самом деле, с течением времени дальше сила упругости, действующая на груз со стороны пружины, будет заставлять груз набирать скорость, направленную влево, груз будет двигаться влево. При этом удлинение пружины будет уменьшаться; в результате, потенциальная энергия системы будет уменьшаться, а кинетическая энергия системы будет увеличиваться, таким образом, потенциальная энергия системы будет переходить в кинетическую. На рис. 65-(9) изображён некоторый момент в течение этого процесса. E_{мех9}=E_{кин9}+E_{пот9}=\large \frac{m\cdot v_9^2}{2}+\frac{k\cdot x_9^2}{2}. И так далее… Если при этих колебаниях пренебречь потерями механической энергии (а мы ими пренебрегли, раз амплитуда колебаний у нас не изменялась с течением времени) то будет выполняться равенство:
\large \frac{m\cdot v^2}{2}+\frac{k\cdot x^2}{2}=\frac{m\cdot v_{max}^2}{2}=\frac{k\cdot A^2}{2};
где v~- модуль скорости груза в произвольный момент времени,
x~- координата груза в этот же момент времени. - Как называют колебания, при которых отсутствуют потери механической энергии?
Колебания, при которых отсутствуют потери энергии называют незатухающими. - В какой момент из приведённых на рис. 65, надо выбрать начало отсчёта времени, чтобы зависимость координаты груза от времени имела график, показанный на рис. 64?
Чтобы зависимость координаты груза от времени имела график, показанный на рис. 64 надо выбрать начало отсчёта времени в момент, изображённый на рис. 65-(3). - Чему при этом должна быть равна координата x_3?
При этом координата x_3=\sqrt{2}~м. - Запишите формулу, связывающую амплитуду колебаний исходной величины с амплитудой колебаний её скорости.
v_{max}=ω\cdot A;
где v_{max}~- амплитуда колебаний скорости этой величины,
ω~- угловая частота этих колебаний,
A~- амплитуда колебаний этой величины. - Что такое амплитуда колебаний ускорения колеблющейся величины?
Амплитуда колебаний ускорения колеблющейся величины — это модуль наибольшего отклонения скорости изменения скорости изменения величины от среднего значения. - Запишите формулу, связывающую амплитуду колебаний исходной величины с амплитудой колебаний её ускорения.
a_{max}=ω^2\cdot A;
где a_{max}~- амплитуда колебаний ускорения этой величины,
ω~- угловая частота этих колебаний,
A~- амплитуда колебаний этой величины.