- Выведите формулу для давления света, падающего на полностью отражающую поверхность.
Пусть свет падает из воздуха на полностью отражающую поверхность перпендикулярно к ней. Пусть энергия света, падающего на единицу площади этой поверхности в единицу времени равна Ф (из сказанного видно, что величина Ф измеряется в джоулях, делёных на метр квадратный и делёных на секунду: [\frac{Дж}{м^2\cdot с}]). А площадь этой поверхности равна S. Посмотрите на рис. 152-а.
Вот рисунок 152.
Рис. 152. а) Давление света на полностью отражающую поверхность.
Вид вдоль этой поверхности.
Ось \mathrm{x} сонаправим с начальной скоростью фотонов.
1 — один из фотонов, движущихся к этой поверхности.
\vec{p}_1~- импульс этого фотона, до его отражения от этой поверхности.
Полностью отражающую поверхность обозначим вертикальным отрезком с штриховкой справа.
2 — тот же фотон после отражения от этой поверхности.
\vec{p}_2~- его импульс после отражения от этой поверхности.
б) Давление света на полностью поглощающую поверхность.
Вид вдоль этой поверхности.
Ось \mathrm{x} сонаправим с начальной скоростью фотонов.
1 — один из фотонов, движущихся к этой поверхности.
\vec{p}_1~- импульс этого фотона.
Полностью поглощающую поверхность обозначим вертикальным отрезком с штриховкой справа.
Рассмотрим один из падающих на эту поверхность фотонов (1). Так как он падает на поверхность перпендикулярно к ней, то отразившись от поверхности, он будет двигаться вдоль той же прямой, по которой он двигался, падая. Запишем закон изменения импульса для системы состоящей из одного этого фотона в проекции на ось \mathrm{x}: p_{2x}-p_{1x}=F_{пфx}\cdot Δt, где p_{2x}~- проекция импульса этого фотона на ось \mathrm{x} после его отражения, p_{1x}~- проекция импульса этого фотона на ось x до его отражения, Δt~- рассматриваемый промежуток времени, F_{пфx}~- проекция средней силы, с которой поверхность действует на фотон в течение времени Δt. Применяя формулу, связывающую модуль импульса фотона с его энергией и правила нахождения проекции вектора на ось, получим: -\large \frac{E_2}{c}\normalsize -\large \frac{E_1}{c}\normalsize =F_{пфx}\cdot Δt, где E_2~- энергия фотона после его отражения от поверхности, c~- модуль скорости света в воздухе (здесь будем считать, что модуль скорости света в воздухе равен модулю скорости света в вакууме), E_1~- энергия фотона до его отражения от поверхности. Так как при отражении волны её частота не меняется, то E_1=E_2, обозначим эти энергии буквой E~(E≡E_1=E_2). Тогда из предыдущей формулы получим F_{пфx}=-\large \frac{2\cdot E}{c\cdot Δt}. Назовём среднюю силу, с которой в течение времени Δt этот фотон действует на эту поверхность \vec{F}_{фп}. Тогда по третьему закону Ньютона: F{фпx}=-F_{пфx} и тогда, подставляя F{пфx} из предыдущей формулы получим: F_{фпx}=\large \frac{2\cdot E}{c\cdot Δt}. Таким образом, получается, что фотон при его отражении от поверхности действует на неё с силой, направленной вдоль оси \mathrm{x}~- направо на этом рисунке. Так как поверхность полностью отражающая, то все фотоны, которые упадут на неё, отразятся от неё, и каждый из них будет действовать на эту поверхность с средней силой \vec{F}_{фп}. Поэтому общая сила давления всех фотонов на поверхность \vec{F}_{сп} (давление света на поверхность) \vec{F}_{сп}=N\cdot \vec{F}_{фп}, или в проекции на ось \mathrm{x}: F_{спx}=N\cdot F_{фпx}, где N~- число всех фотонов, которые упадут на эту поверхность и отразятся от неё за время Δt. Найдём число фотонов N, которые упадут на эту поверхность за время Δt. Для этого выразим общую энергию фотонов E_о, которые упадут на эту поверхность за время Δt: E_о=Ф\cdot Δt\cdot S. Теперь определим N: N=\large \frac{E_о}{E}\normalsize =\large \frac{Ф\cdot Δt\cdot S}{E}. Подставляя N в формулу для проекции на ось \mathrm{x} силы давления света на поверхность, получим: F_{спx}=\large \frac{Ф·Δt·S}{E}\normalsize \cdot F_{фпx}=\large \frac{Ф\cdot Δt\cdot S}{E}\normalsize \cdot \large \frac{2\cdot E}{c\cdot Δt}\normalsize =\large \frac{2\cdot Ф\cdot S}{c}. И применяя формулу для давления, получим формулу для давления света на полностью отражающую поверхность: P=\Large \frac{\frac{2\cdot Ф\cdot S}{c}}{S} \normalsize=\large \frac{2\cdot Ф}{c}. - Выведите формулу для давления света, падающего на полностью поглощающую поверхность.
Пусть свет падает из воздуха на полностью поглощающую поверхность перпендикулярно к ней. Пусть энергия света, падающего на единицу площади этой поверхности в единицу времени равна Ф (из сказанного видно, что величина Ф измеряется в джоулях, делёных на метр квадратный и делёных на секунду: [\frac{Дж}{м^2\cdot с}]). А площадь этой поверхности равна S. Посмотрите на рис. 152-б.
Рассмотрим один из падающих на эту поверхность фотонов (1). Запишем закон изменения импульса для системы состоящей из одного этого фотона в проекции на ось \mathrm{x}: 0-p_{1x}=F_{пфx}\cdot Δt, где p_{1x}~- проекция импульса этого фотона на ось \mathrm{x} до его поглощения, Δt~- рассматриваемый промежуток времени, F_{пфx}~- проекция средней силы, с которой поверхность действует на фотон в течение времени Δt. Применяя формулу, связывающую модуль импульса фотона с его энергией и правила нахождения проекции вектора на ось, получим: 0-\large \frac{E_1}{c}\normalsize =F_{пфx}\cdot Δt, где c~- модуль скорости света в воздухе (здесь будем считать, что модуль скорости света в воздухе равен модулю скорости света в вакууме), E_1~- энергия фотона до его поглощения. Обозначим энергию E_1 буквой E~(E≡E_1). Тогда из предыдущей формулы получим F_{пфx}=-\large \frac{E}{c\cdot Δt}. Назовём среднюю силу, с которой в течение времени Δt этот фотон действует на эту поверхность \vec{F}_{фп}. Тогда по третьему закону Ньютона: F{фпx}=-F_{пфx} и тогда, подставляя F{пфx} из предыдущей формулы получим: F_{фпx}=\large \frac{E}{c\cdot Δt}. Таким образом, получается, что фотон при его поглащении поверхностью действует на неё с силой, направленной вдоль оси \mathrm{x}~- направо на этом рисунке. Так как поверхность полностью поглощающая, то все фотоны, которые упадут на неё, поглотятся, и каждый из них будет действовать на эту поверхность с средней силой \vec{F}_{фп}. Поэтому общая сила давления всех фотонов на поверхность \vec{F}_{сп} (давление света на поверхность) \vec{F}_{сп}=N\cdot \vec{F}_{фп}, или в проекции на ось \mathrm{x}: F_{спx}=N\cdot F_{фпx}, где N~- число всех фотонов, которые упадут на эту поверхность и поглотятся ей за время Δt. Найдём число фотонов N, которые упадут на эту поверхность за время Δt. Для этого выразим общую энергию фотонов E_о, которые упадут на эту поверхность за время Δt: E_о=Ф\cdot Δt\cdot S. Теперь определим N: N=\large \frac{E_о}{E}\normalsize =\large \frac{Ф\cdot Δt\cdot S}{E}. Подставляя N в формулу для проекции на ось \mathrm{x} силы давления света на поверхность, получим: F_{спx}=\large \frac{Ф·Δt·S}{E}\normalsize \cdot F_{фпx}=\large \frac{Ф\cdot Δt\cdot S}{E}\normalsize \cdot \large \frac{E}{c\cdot Δt}\normalsize =\large \frac{Ф\cdot S}{c}. И применяя формулу для давления, получим формулу для давления света на полностью отражающую поверхность: P=\Large \frac{\frac{Ф\cdot S}{c}}{S} \normalsize=\large \frac{Ф}{c}.